назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [ 79 ] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


79

Характеристическая функция задает свое с-ядро в виде выпуклого многогранника, определяемого как пересечение полупространств, т.е. "не вполне явным образом" (ср. замечание из п. 11.3 гл. 1 по поводу аналогичного задания множества оптимальных стратегий игроков в матричной игре). Поэтому вся теория с-ядра в кооперативных играх сводится в принципе к тому, чтобы переходить от такого задания этого многогранника к более явному его заданию путем указания его вершин (считаясь, разумеется, с тем, что этот многогранник может оказаться пустым).

13.4.с-ядро является симметричным множеством дележей в следующем смысле.

Теорема. Если п - изоморфизм v и xG С(р),то nxG C(7rv).

Если C(v) Фф, то существует такой дележ x*GC{v), что пх* = х*для любого автоморфизма тг характеристической функции v.

Доказательство. Первая часть теоремы вытекает непосредственно из того, что неравенство (13.1) сохраняется при изоморфизмах игр (см. п. 5.6).

Для доказательства второй части возьмем произвольный дел еж л: G C(v), перечислим все автоморфизмы v: tti ,..., тг, и составим дележ

1 t

х*= - 2 тгх(13.2)

t k = i

Ддя этого дележа и любого автоморфизма щ должно быть 1 t

nix* = ~ 2 ТГ,Я;,Х(13.3)

t k = l

Но ввиду того, что автоморфизмы составляют группу (см. п. 5.7), тг/Яь ... . .. , Я/Я, есть снова перечисление всех автоморфизмов v, так что правые части (13.2) и (13.3) совпадают, откуда и следует требуемое. □

13.5.Очевидно, чем больше возможностей недоминирования в игре одних дележей другими, тем выше шансы на наличие у такой игры непустого с-ядра и тем большим может быть само это с-ядро. "Наиболее благоприятным" в этом отношении представляется случай несущественной игры, в которой с-ядро существует и состоит из единственного дележа этой игры, а также случай игры двух лиц, в которой какое-либо доминирование отсутствует, и с-ядро состоит из множества всех вообще дележей.

13.6.Другим крайним случаем по количеству доминирований являются существенные игры с постоянной суммой.

Теорема. Во всякой существенной игре со свойством дополнительности с-ядро пусто.

Доказательство. Предположим, что дележ х принадлежит с-яд-ру V. По теореме из п. 13.2 для любого игрока / должно быть

v(i) Xf, v(I\ О х(1\ /).(13.4)

Складьшая эти неравенства почленно, мы на основании свойства дополнительности и коллективной рациональности дележей получаем

и(/)=х(/).(13.5)

Значит, и в соотношениях (13.4) должно быть точное равенство:

1(0=,,(13.6)



и это справедливо для любого игрока. Из (13.5) и (13.6) следует аддитивность характеристической функции и тем самым несущественность игры.

13.7. Следствие. Для простейшей характеристической функции Vj с-ядро C(vj) состоит из всех дележей х, для которых x(R) = 1.

Действительно, это условие вытекает из неравенства (13.1) низ коллективной рациональности дележей и потому необходимо. С другой стороны, из него и из индивидуальной рациональности следует

х(К) 0 при КфЯ, х(К)1при KDR,

и потому оно достаточно ввиду п. 13.2. □

§ 14. с-ЯДЮ В ОБЩИХ ИГРАХ ТРЕХ ЛИЦ

14.1. Рассмотрим общую игру трех лиц в О - 1-редуцированной форме. Для ее характеристической функции мы имеем (см. п. 8.3)

v(0) = v(l) = v(2) = v(3) = O,u(l,2,3)=l,

v(U2) = Cs, v(l,3)=C2,i;(2,3) = ci,

где, конечно,

0<c.l, /=1,2,3.(14.1)

На основании теоремы п. 13.2 для того, чтобы дележ х принадлежал C(v), необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

Х1+л:2Сз, Xx+XsC2, л:2+ХзС1, или, что то же самое,

31-3, 21-2, Хг1-с,,(14.2)

Это значит, что точка х должна лежать к /-й вершине основного треугольника ближе, чем прямая

i=l-cr(14.3)

Почленное сложение всех неравенств (14.2) дает нам

Xi + 2 + Хз 3 - (ci + <:2 + Сз),

или, поскольку сумма всех барицентричных координат тождественно равна единице,

С1+С2+ез2.(14.4)

Написанное неравенство является, таким образом, необходимым условием существования в рассматриваемой игре непустого с-лдра.

Например, если Ci = С2 = Сз = 1, т.е. если игра обладает свойством дополнительности, то неравенство (14.4) не вьшолняется. Это соответствует утверждению теоремы 13.4.

С другой стороны, если (14.4) выполняется, то можно взять такие неотрицательные еь €2, ез, чтобы было

2 (с,. + е,.) =2,€fl -е., /=1,2,3,



и положить х. = 1 - Cf- €f, / = 1, 2, 3. Такие числа л: удовлетворяют неравенствам (14.2), так что дележ х= (Xi, Х2, х) будет принадлежатьс-ядру игры.

Неравенство (14.4) дает возможность наглядно представить себе вид множества всех игр трех лиц в непустым с-ядром как подмножество куба всех игр трех лиц на рис. 4.1.

14.2. Геометрически непустое с-ядро кооперативной игры трех лиц является треугольником, ограниченным прямыми (14.3), если, конечно, все точки пересечения этих прямых лежат в пределах основного симплекса дележей (рис. 4.13). Последнее будет иметь место, если решение любой пары уравнений (14.3) вместе с уравнением

1 +3 =1(14.5)

состоит из неотрицательных чисел.

Рассмотрим, например, систему, состоящую из уравнений =1 - Cj, = I -и уравнения (14.5). Неотрицательность и обеспечивается (14.1). Из этой системы nonjiacM 3 =1-Ci -Cj, и неотрицательность равносильна соблюдению неравенства

с,+с<1.(14.6)

Если это условие не вьшолняется, то нижняя вершина заштрихованного треугольника выходит за пределы симплекса дележей (рис. 4.14) и с-ядро приобретает вид четырехугольника.

Сходную роль играет вьшолнение или невьшолнение неравенств

+3 h+Сз1.(14.7)

Рис, 4.13

Рис. 4.14

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [ 79 ] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]