назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [ 77 ] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


77

ровать дележ у по одной коалиции, в то время как дележ у доминирует дележ X по другой), но не обязательна. То же можно сказать и о транзитивности доминирования. Из того, что х доминирует у (т.е. имеется коалиция, предпочитающая х по сравнению с у), г у доминирует z (т.е. имеется коалиция, предпочитающая у по сравнению с z), еще никак не следует доминирования дележа z дележом х (т.е. существования коалиции, которая предпочитала бы х по сравнению с z).

11.4.Доминирование возможно не по всякой коалиции. Так, ни в какой кооперативной игре невозможно доминирование по коалиции, состоящей из единственного игрока, а также по множеству всех игроков /.

Действительно, из л:>-> следовало бы yf< Xf< v{i), а это противоречит индивидуальной рациональности дележа

Из х> у следовало бы хУу- для всех /G /, и потому х(1) >у(1) = т

= v(I), что противоречит коллективной рациональности дележа х.

11.5.Нетрудно показать, что для одновременного выполнения доминирований х> у и у> X в кооперативной игре необходимо, чтобы число игроков п в ней было не меньше пяти.

в самом деле, пусть п=4, х>уиу>х.В силу строгости неравенств (11.2) долж-

но быть К п L =0. Поэтому каждая из коалиций К и L должна состоять ровно из двух игроков. Не нарушая общности, можно считать, что /Г = (1,2}и/={3, 4}. Мы имеем в силу х >у х, + S v(l, 2), а в силу >х - х+х < +>4 i;(3, 4).

Сложение этих неравенств дает нам

х+х+х+х< i;(l, 2) +и(3,4) и(/), что противоречит коллективной рациональности дележа х

11.6.Отношения доминирования по какой-либо коалиции (а тем самым и отношение доминирования) инвариантны относительно аффинной эквивалентности.

Теорема. Если v uv - две аффинно эквивалентные характеристические функции, причем дележам х и у соответствуют дележи х и у\ то из

X > у следует х > у, кк

Доказательство. Пусть

v\K) = kv{K)+ 2 а(к>0,КСГ).

Доминирование х> у означает

x(K)v(K), Xf>yf(iK),

Но тогда

х\К)= 2 {кх.а.) =

= к 2 Х.+ 2 af<kv(K)- 2 af = v(K),

ylkyf-a-< kXf+af=xl,

т.е. X > y. □



11.7..Из сказанного следует, что все явления, описываемые в терминах доминирования дележей, относятся не к самим кооперативным играм, а к их классам аффинной эквивалентности. Следовательно, эти явления достаточно изучать для несущественных игр по нулевым играм, а для существенных игр - по их О - 1 -редуцированным формам.

11.8.Отношение доминирования сохраняется и при автоморфизмах характеристической функции.

Теорема. Если тг - автоморфизм характеристической функции и, аК-коалиция, то из х >у следует пх > тту,

кттК

Доказательство очевидно. □

Отсюда немедленно получается: из х>у следует 7тх> тту.

11.9.Доминирование в условиях простой (и в том числе - простейшей) характеристической функции возможно лишь по выигрывающим коалициям (отличным от множества / всех игроков).

Действительно, если v(K) = О, то из х> у следовало бы

у{К)< x(K)v(K)=0,

чего не может быть ввиду неотрицательности компонент дележей.

С другой стороны, если характеристическая функция v - простейшая:

V = Vj,SLК D R, то длях>у необходимо, чтобы бьшо

у(К)< х(К)1.(11.3)

§ 12. ПРИМЕРЫ ДОМИНИРОВАНИЯ ДЕЛЕЖЕЙ

12.1.В любой несущественной игре согласно п. 9.5 имеется только один дележ, и потому никаких доминирований в ней нет.

12.2.В играх двух лиц всякая коалиция либо состоит из единственного игрока, либо совпадает с множеством всех игроков. Поэтому согласно п. 11.4 в играх двух лиц доминирование дележей невозможно.

12.3.Опишем доминирование дележей в существенной игре трех лиц (мы можем считать, что она имеет О - 1-редуцированную форму).

Начнем с того случая, когда рассматриваемая кооперативная игра обладает свойством дополнительности: Ci =С2 =Сз = 1 (см. п. 8.3).

Пусть л: = (х1,Х2,Хз) и у = (yi, У2, Уз) - два дележа. Как указывалось в п. 11.4, доминирование невозможно ни по одной из одноэлементных коалиций 1, 2 или 3, ни по трехэлементной коалиции {1, 2, 3}. Следовательно, доминирование возможно лишь по одной из двухэлементных коалиций {1,2}, {1,3} или {2,3}.

Будем представлять дележи в рассматриваемой кооперативной игре как тройки барицентричных координат точек в треугольнике 123.

Доминирование х > у означает, во-первых, что Xi + 2 у(1, 2) = 1 и,

во-вторых, что Ух < Хх, У2 Х2. Псрвос из этих условий вьшолняется автоматически: Хх Х2 = I - Xj 1, и поэтому мы на нем останавливаться не будем. Во втором же условии >i < Хх означает, что прямая, параллельная стороне треугольника 2J (рис. 4.4) и проведенная через точку х,лежит



ближе к вершине 1 треугольника, чем параллельная ей прямая, проведенная через точку у. Точно так жг У2< Ух означает, что точка х лежит к вершине 2 ближе (в том же самом смысле), чем точка у.

Таким образом, множество всех дележей, доминируемых данным дележом X по коалиции {1,2), составляет в треугольнике всех дележей открытый параллелограмм. Он открыт в треугольнике, но не по всей плоскости, в том смысле, что его стороны, лежащие на сторонах треугольника дележей, принадлежат ему, а стороны, лежащие внутри этого треугольника, -нет, ибо неравенства (11.2) - нестрогие (рис. 4.5)

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Рис. 4.6

Аналогично (в сутдности, это вытекает из симметричности рассматриваемой игры (см. п. 8.4) и сохранения доминирования при автоморфизмах (см. п. 11.8)) множество дележей, доминируемых дележом х по коалициям (1,3}и{2,3},о бразует два дальнейших открытых параллелограмма, направленных в сторону вершин 2 и 7. Таким образом, множество всех дележей, доминируемых дележом х, описывается на рис. 4.6 заштрихованной областью.

12.4.Непосредственно из описания множества всех дележей, доминируемых данным дележом, видно, что для того, чтобы из двух данных дележей ни один не доминировал другого, необходимо и достаточно, чтобы прямая, проведенная через соответствующие им точки, бьша параллельна одной из сторон треугольника дележей.

12.5.Рассмотрим теперь доминирование дележей в общей игре трех лиц. Напишем снова условия доминирования дележом х= (Xj, Хг, Хз) дележа{У1,У2.Уъ) по коалиции {1,2}:

Ху +Х2 У(1,2) =Сз, Ух < ХиУ2 < Х2.

Так как теперь, вообще говоря, может быть Сз<1, первое из этих условий может оказаться существенным, и его нельзя отбросить, как это мы сделали в случае игр со свойством дополнительности. Это условие означает, что соответствующая дележу х точка должна быть расположена не ниже прямой с уравнением +2 =<з> или, что то же самое (напомним, что мы имеем дело с барицентрическими координатами, в которых равенствовьшолняется тождественно!), с уравнением

\з = 1~сз (рис. 4.7).

Таким образом, если дележ х таков, что

Xil~Ci,Х2>1-С2,Хз.1-Сз,(12.1)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [ 77 ] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]