назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [ 76 ] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


76

ми, если аффинно экживапентны характеристические функции и и v\ а каждому дележу х GJl поставлен соответствие определяемый в (9.7) соответствующий ему дележ х Sjl. □

Поскольку в принятых нами соглашениях характеристическая функция V однозначно определяет множество дележей «уу, она однозначно определяет и всю кооперативную игру < /, и, *>4 >. На этом основании мы можем понятия характеристической функции и кооперативной игры отождествлять, пользуясь терминами "характеристическая функция" и "кооперативная игра" как синонимичными.

В частности, мы будем на кооперативные игры переносить формулировки всех свойств характеристических функций, и в том числе такие, как дополнительность, существенность или несущественность (аддитивность), О - 1-редуцированность и т.д.

§ 10. ДЕЛЕЖИ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

10.1.Присоединение к заданию характеристической функции множества допустимых дележей, т.е. ее превращение в кооперативную игру, можно рассматривать как своего рода оптимальное решение задачи, которая описьшается характеристической функцией. Это значит, что характеристическая функция бескоалиционной игры находит в соответствующей ей кооперативной игре некоторое свое оптимизационное уточнение. Однако множество всех дележей, очевидно, оказьшается при этом все еще недостаточно точным решением, и возникает естественная задача указать в качестве такого оптимального решения некоторое меньшее множество дележей, а в идеале - единственный дележ.

Один путь построения таких оптимальных решений состоит во введении на множестве всех дележей некоторого достаточно естественного отношения предпочтения и в объявлении "решением" того дележа или того множества дележей, которые удовлетворяют в смысле этого отношения тем или иным условиям максимальности. На этом пути мы получим оптимальные решения, которые назьшаются с-я дро м (см. § 13) и решением по Нейману - Моргенштерну (см. § 16).

Другой путь основан на введении формальных описаний тех требований, которые естественно предьявлять к оптимальным дележам, придании этим требованиям смысла аксиом и нахождении описания оптимальных решений дедуктивным путем. На этом пути мы в § 20 придем к понятию "справедпи-вого дележа" (который назьшается вектором Шепли). Заметим, что получаемые на таком аксиоматическом пути оптимальные решения можно также получить и как оптимальное решение некоторой оптимизационной задачи над множеством дележей, понимаемым как подмножество (симплексов) в евклидовом пространстве.

10.2.Хотя понятие дележа логически и связано с понятием характеристической функции, но в принципе является внешним по отношению к нему. Поэтому уточнение формальной связи между этими понятиями оказывается достаточно плодотворным. Основой этой связи может служить соотношение между выигрышами (полезностями), получаемыми коалицией на основании характеристической функции, с одной стороны, и на основании того или иного конкретного дележа - с другой. Некоторые из таких соот-



ношений 6biraf рассмотрены в п. 9.3 как условия индивидуальной и коллективной рациональности. Они касались значений характеристической функции для отдельных игроков и для "большой" коалиции. Включим в рассмотрение свойства "рациональности" дележей для другий коалиций.

Определение. Эксцессом дележа х для коалиции К в условиях характеристической функции v называется разность е(х. К) =v(K) - -х(К), □

Содержательно эксцесс есть разность между тем количеством v(K), на которое коалиция К может уверенно рассчитывать в условиях характеристической функции V, и тем количеством, которое на основе дележа х получат в сумме все участвующие в ней игроки. Таким образом, положительный эксцесс можно понимать, с одной стороны, как "запас" в реализуемости компонент дележа для игроков из в условиях дс, а с другой -как степень неудовлетворенности коалиции К дележом х в условиях и.

Ясно, что в результате автоморфизма я характеристической функции эксцесс дележа не изменяется: (тх, ттК) = е (х, К).

10.3. Дележи с неотрицательными эксцессами можно считать осуществимыми.

Определение. Дележ х называется эффективным для коалиции К в условиях характеристической функции и, если е(х, K)=v(K) --х(К)0. □

Наглядно можно интерпретировать и неэффективность дележа х для К в условиях V, Она состоит в вьшужденной приемлемости х для К, т.е. в том, что коалиция К, оказавшись в условиях неэффективного для нее дележа, не будет иметь возможностей изменить его для себя в лучшую сторону и не будет тем самым стремиться к его изменению.

Следовательно, если дележ не ябляется эффективным ни для какой коалиции, то он оказывается весьма устойчивым и может в этом своем качестве квалифицироваться как оптимальный.

Определение. Дележ назьюается абсолютно неэффективным в условиях характеристической функции v, если он не эффективен ни для какой коалиции в условиях v. □

Множеством всех абсолютно неэффективных дележей мы займемся в § 13 и следующих за ним.

§ 11. ДОМИНИРОВАНИЕ ДЕЛЕЖЕЙ

11.1. На множестве дележей в любой кооперативной игре можно указать некоторое достаточно естественное отношение предпочтения.

Пусть х= (xi,,. . ,Хп) иу= (У1,..., Уп) - два дележа в кооперативной игре и, а А С / -некоторая коалиция.

Определение. Говорят, что дележ х доминирует дележ у по коалиции К, если выполняются следующие два условия:

1)эффективность доминирующего дележа:

x(K)v(K);(11.1)

2)предпочтительность:

Xi>yi длявсех /GA.(11.2)



Доминирование дележа у дележом х по коалиции К обозначается через

X > у (или иногда через xRy), а множество всех дележей, доминируемых к

дележом х по коалиции К, - через domх. □

Из соотношения (11.2) следует, что множество domx есть открытое вьшуклое подмножество множества всех дележей.

Ясно также, что из х> у следует, что х> \x-\- (1 -X) у при любом

XG[0, 1].

11.2.Соотношение доминирования по коалиции К, т.е.х> у, выражает

некоторое предпочтение, отдаваемое коалицией К дележу х по сравнению с дележом у. Оно призвано отражать то обстоятельство, что при выборе из двух дележей х и у коалиция К выберет х. Это можно понимать и так, что при предъявлении коалиции К дележа у как договора, коалиция К имеет основания выступать против у, предлагая в качестве альтернативы дележ X,

Фигурирующее в определении доминирования условие эффективности уже комментировалось нами в п. 10.2. Оно означает, что сравниваемый коалицией дележ х должен быть, прежде всего, реализуемым этой коалицией: сумма выигрышей каждого из членов коалиции не должна превосходить уверенно получаемое ею количество. В противном случае коалиция, встретившись с дележом, дающим ей столько, сколько она самостоятельно не в состоянии добиться, должна согласиться на него и не заниматься его сравнением с какими-либо другими дележами.

Условие предпочтительности отражает необходимость "единодушия" в предпочтении со стороны коалиции: если хотя бы одно из неравенств (11.2) будет нарушено, т.е. если хотя бы для одного из членов коалиции К вьшгрыш в условиях дележа у будет не меньшим, чем в условиях дележа X, то можно будет говорить о предпочтений дележа х дележу у не всей коалицией К, а лишь теми ее членами, для которых соответствующее неравенство (11.2) соблюдается.

11.3.Определение. Говорят, что дележ х доминирует дележ у,

если существует такая коалиция К, по которой дележ х доминирует дележу

(т.е.имеет местох>- у).

Доминирование дележа у дележом х обозначается через х> у (или иногда как xRy), а множество всех дележей, доминируемых дележом х, через dom х □

Очевидно, domx= U dom-x. Поэтому множество dom л: также

к сг

является открытым.

Изх> у следует, что л: > Хх + (1 -X) у при любом X G [О, 1).

Доминирование дележом х дележа у означает, что в "обществе" (т.е. в множестве всех участвующих в игре игроков /) найдутся такие "силы" (т.е. такая коалиция К), которые 6}дут выступать в пользу дележа х при его сравнении с дележом v.

Отношение доминирования, вообще говоря, не обладает теми свойствами отношений, которые обычно упрощают их анализ. Так, ввиду строгости неравенств (11.2) отношение доминирования не может быть рефлексивным. Симметричность его возможна (гак как дележ х может домини-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [ 76 ] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]