Определение. Вектор х: I-R (т.е. вектор, компоненты которого соответствуют игрокам данной характеристической функции v над / ) назьюается дележом в условиях v , если он удовлетворяет некоторым условиям, выраженным через значения v и соответствзоощим содержательно возможностям реализации х. □

В условиях дележа х каждая коалиция KCIполучает сумму 2 Х/.

i G к

Мы будем часто обозначать эту сумму через х(К). Такое обозначение как бы напоминает о том, что дележ с неотрицательными компонентами можно понимать как меру.

Ясно, что условия реализуемости, накладьшаемые априори на вектор х из сформулированного определения, могут быть весьма разнообразными.

Множество всех допустимых в условиях характеристической функции и дележей будем обозначать через гЛ •

Определение. Тройка

Г = </,и, Л),(9.1)

состоящая из множества игроков /, характеристической функции и над / и множества дележей Jt С R, называется классической кооперативной игрой. □

В данной книге мы ограничимся только одним из вариантов таких условий, которым должны удовлетворять дележи, составляющие множество ij.

9.3. Рассмотрим некоторую характеристическ)ао функцию и над множеством игроков / .

Сформулируем условия, при которых вектор выигрышей х может считаться допустимым в бескоалиционной игре с данной характеристической функцией и (равно как и в любых иных конфликтных отношениях с этой характеристической функцией) и может с реапьными основаниями рассматриваться как разумный договор между участниками игры в условиях неограниченного последующего распределения между игроками, получаемых коалициями вьшгрышей. Реальность этих оснований мы будем далее понимать как их необходимость, как своего рода частичную систему аксиом, определяющих оптимальность дележа.

Во-первых, естественно потребовать, чтобы для каждого iGI бьшо

x,vii).(9-2)

Действительно, в противном случае игроку i при распределении бпаг х будет предложено меньше, чем он может получить форсированно, действуя совершенно самостоятельно и не заботясь о согласии каких-либо других игроков. Если же игроку / будет в распределении х предложена доля, меньшая чем v{i), то он откажется участвовать в таком распределении, и это распределение тем самым не будет реализовано. Во-вторых, необходимо, чтобы бьшо

х(/) = и(/).(9.3)

В самом деле, в случае х(/) <у(/) вся совокупность игроков / голучает меньше, чем она могла бы получить в условиях характеристической функции, и . Вместо этого / может добиться получения и(/) и распределить это

количество так, чтобы каждый игрок /€/получил больше, чем его доля X,-. Следовательно, такое распределение х можно считать невыгодным и потому недопустимым.

С другой стороны, если бы бьшо х(/) > , то это означало бы, что игроки из / делят между собой сумму, превосходящую ту, которая находится в их распоряжении. Значит, в этом случае вектор вьшгрышей х просто неосуществим.

Условие (9.2) назьшается условием индивидуальной рациональности вектора х, а условие (9.3) - условием его коллективной рациональности (или групповой рациональности).

Далее мы под дележом в условиях характеристической функции v над! будем понимать вектор х: ! -R, удовлетворяющий условиям индивидуальной рациональности (9.2) и коллективной рациональности (9.3).

9.4.Опишем в явном виде множество tA всех дележей в классической кооперативной игре.

Теорема. Для того чтобы вектор х = (х,... ,х„) был дележом в классической кооперативной игре а, V, А\ необходимо и достаточно, чтбы было X/ = v(i) + а/, i €/, причем

aiO, iG!, S ai = v(!)- S v(i).(9.4)

Доказательство. Достаточность устанавливается простой проверкой условий индивидуальной и коллективной рациональности вектора х. Для доказательства необходимости положим

Xi-v(i) = а,.(9.5)

Из (9.2) следует, что аО. Суммируя почленно все равенства вида (9.5) и учитьшая (9.3), мы получаем (9.4) . □

9.5.В частности, если в кооперативной игре Г = (/, у, tA > характеристическая функция V является несущественной, то правая часть неравенства в (9.4) должна обращаться в нуль, откуда следует, что должно быть = О при всех / € /. Это значит, что в несущественной кооперативной игре имеется лишь один дележ: (и(1),... ,v(n)),

С другой стороны, если в кооперативной игре Г характеристическая функция V имеет О - 1-редуцированную форму, то множество всех дележей Jij оказьшается симплексом

v={(xu...,x): х,.>0, /€/; х(/) = 1 } ,

а компоненты каждого дележа (т.е. доля каждого игрока в нем) естественно понимать как его барицентрические координаты в Jl .

Мы видим, что смешанные стратегии в бескоалиционных играх и дележи в кооперативных играх описьшаются одними и теми же математическими образами: точками (векторами) в симплексе, задаваемыми своими барицентрическими координатами. Это приводит и к одинаковым геометрическим изображениям тех и других. Однако, видя такое наглядное сходство и проводя формальные аналогии, не следует забьюать о глубоком содержательном различии между ними: компонентами смешанной стратегии игрока являются вероятности тех или иных его действий (чистых стратегий), а компонентами дележа - доли полезности различных игроков. При этом

то, что доли полезности также могут выступать в физическом облике вероятностей, очевидно, дела не меняет.

9.6.Между дележами в аффинно эквивалентных характеристических функциях имеется естественное соответствие.

Определение. Пусть

v{K) = kv(K) Z ai(9.6)

I ел:

и xG еУу. ДележомхЕс/у, соответствующим дележу х в условиях описываемой в (9.6) аффинной эквивалентности, назьшается дележ л:для / -й компоненты которого будет

xl=kXi + ai. □(9.7)

9.7.Если X = (xi,.. ., Xfj) Е у и тг - автоморфизм v , то положим

9.8.В настоящее время в теории игр рассматриваются также кооперативные игры более общего типа, чем определенные только классические кооперативные игры. Мы, однако, в дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь классических кооперативных игр, которые будем назьшать просто кооперативными играми. Поскольку основной и определяющей составной частью кооперативной игры является характеристическая функция, кооперативные игры нередко назьшают также играми в форме характеристической функции.

9.9.По подходу к изучаемым явлениям и по их математической трактовке теория кооперативных игр близка к рассматривавшейся в предьщущих главах теории бескоалиционных игр.

Подобно ситуации в общей теории бескоалиционных игр (ср. гл. 3. п. 4.2), дележ в теории кооперативных игр можно содержательно понимать как договор между игроками о распределении получаемой ими всеми суммы v(I).

Однако следует иметь в виду важные черты различия между этими двумя теориями.

Прежде всего бескоалиционные игры являются стратегическими в том смысле, что в них исход (ситуация) формируется в результате. действия тех самых игроков, которые в этой ситуации получат те или иные вьшгрыши. Напротив, исходом кооперативной игры является дележ, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их соглашений.

В соответствии с этим в кооперативных играх сравниваются по предпочтительности не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи, и сравнение это не ограничивается рассмотрением индивидуальных вьшгрышей, а носит более сложный характер.

Различие в характере предпочтений обусловливает и различия в представлениях об оптимальном дпя этих классов игр. Принципы оптимальности в кооперативных играх оказьшаются весьма разнообразными и часто довольно сложными. Рассмотрению некоторых из них посвящена вся оставшаяся часть этой главы.

Определение. Кооперативные игры Г = (/, v, > и Г = (/, v\ Л с одними тем же множеством игроков назьшаются аффинно эквивалентны-

15*227