Кроме уже упомянутых О - 1-редуцированных форм, в теории игр чаете рассматриваются еще и -- 1-0- редуцированные формы.

§ 8. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С МАЛЫМ числом ИГРОКОВ

8.1.В соответствии со сказанным в п. 7.4 мы будем длялюбого числам игроков фиксировать наличие нулевой характеристической функции как представителя класса несущественных характеристических функций, а также перечислять все О - 1-редуцированные характеристические функции как представителей классов существенных характеристических функций.

Из сказанного в п. 4.1 следует, что каждая характеристическая функция с числом игроков п описьшается 2" ~ 1 параметрами. При О - 1-редукции на характеристическую функцию накладывается « + 1 линейно независимых связей, так что каждая О - 1-редуцированная характеристическая функция описьшается 2" - « - 2 параметрами.

Из сказанного в п. 4.5 следует, что каждая характеристическая функция над п игроками, обладающая свойством дополнительности, описывается 2 ~ параметрами. Следовательно, каждая О - 1-редуцированная характеристическая функция над п игроками описьшается 2"" - « - 1 параметрами.

8.2.При п = 2 число параметров 2* - п - 2 равно нулю. Выпуклое же (см. п. 5.4) нульмерное множество должно состоять из единственной точки. Значит, имеется единственная О - 1-редуцированная характеристическая функция над двумя игроками. Именно, для / = {1, 2} должно быть i;(0) = = i;(l) = i;(2) = О, v{I)= I (что, впрочем, непосредственно вытекает из определения О - 1-редуцированной характеристической функции).

Подсчет числа параметров 2"" - « - 1, определяющих О - 1-редуци-рованные характеристические функции с условиями дополнительности, имеет смысл лишь в случаев > 2, а О - 1-редуцированных характеристических функций двух лиц с условием дополнительности просто нет.

8.3.При« = 3 каждая О - 1-редуцированная характеристическая функция определяется 2 - 3 ~ 2 = 3 параметрами. Очевидно, в качестве таких

параметров естественно взять

К1,2) = сз, i;(l,3) = C2, и(2,3) = сг.(8Л)

Заметим, что к такому вьшоду приводит и непосредственное выписьюание условий персональности и О - 1-редуцированности. В силу сказанного в конце п. 5.5,

О = v(l) v(l,2) = Сз 2, 3) = 1,

т.е. О <Сз < 1. Аналогично мы получаем, что О Cj < 1 и О < С2 1.

Таким образом, каждая О - 1-характеристическая функция трех лиц описьшается тройкой чисел (i ,С2,<:з),гдес/е [О, 1], / = 1, 2, 3, которую можно интерпретировать как точку трехмерного единичного куба (рис. 4.1).

Описание множества всех О - 1-редуцированных характеристических функций трех лиц в виде куба не имеет какого-либо принципиапьного значения, но наглядно и удобно.

Согласно п. 8.1 семейство всех О - 1-редуцированных характеристических функций трех лиц с условием дополнительности имеет размерность 2 - 3 - 1 =0, т.е. состоит из единственной характеристической функции. Для нее должно быть Ci = С2 = Сз = 1 (см. жирную точку на рис. 4.1)*).

Для О - 1-редуцированной формы игры из примера 3 п. 2.2 мы,очевидно, имеем:

сз =i;(ni, П2) =0, С2 =1;(ПьПр) =-,

с - а

Ci =1;(П2,Пр) =1,

и ей примерно соответствует точка, помеченная на рис. 4.1 крестиком (мы считаем продавца игроком 3) .

8.4. Характеристическая функция v трех лиц, описьшаемая соотношениями (8.1) , имеет нетривиапьный автоморфизм

В такие характеристические функции игроки 1 и 2 входят равноправно, если Ci = С2. Соответствующие точки куба составляют диагоначьную плоскость (рис. 4.2).

Аначогично описьшается характеристическая функция с автоморфизмом

Им соответствуют точки, лежащие на других диагоначьных плоскостях.

Наконец, симметричные характеристические функции, для которых Ci =С2 = Сз, имеют автоморфизмами все шесть перестановок игроков. Им соответствуют точки, лежащие на диагоначи куба (рис. 4.3) .

*) Заметим, что точка куба на рис. 4.1, лежащая в начале координат, не соответствует классу несущественных игр, которым вообще нет места в этом представлении.

8.5. Переходим к случаю п = Л. Размерность пространства всех О - 1-редуцированных характеристических функций равна 2* -4 - 2=10, и это пространство едва ли поддается наглядной геометрической интерпретации.

Размерность пространства всех О - I-редуцированных характеристических функций с условием дополнительности равна 2 -4-1=3. Для таких характеристических функций мы автоматически имеем v(ф) = v(l) = v(2) = v(3) = 0,

= v(l,2,4) = v(U2,3)=l, и, кроме того, можно в соответствии с условием дополнительности положить

и(2,3)=1 -ci,

Рис. 4.3

v(2,4) = C2,

V(l,3)=l-C2,

К3,4) = сз, v(l,2)=l-c,.

Значит, каждую из таких характеристических функций можно изобразить точкой того же куба на рис. 4.1.

8.6. Разнообразие классов аффинной эквивалентности (или, что то же самое, О - 1-редуцированных характеристичес1сих функций) растет с увеличением числа игроков весьма быстро. Например, размерность множества классов игр пяти лиц равна 25 (в случае условия дополнительности эта размерность равна 10). Ддя шести игроков соответствующие числа равны 56 и 25 и т.д.

Я.но, что при п> 4 приходится ограничиваться рассмотрением отдельных слассов таких игр, а для построения их полной систематической теории нeoiXoдимo привлечение какие-либо новых комбинаторных идей.

§ 9. ДЕЛЕЖИ И КЛАССИЧЕСКИЕ КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ

9.1.Как уже отмечалось, характеристическая функция бескоалиционной игры является весьма неполной реализацией принципа оптимальности максйминного типа, как таковая нуждается в уточнении и действительно может быть уточнена. Это уточнение мы будем осуществлять в виде расчлененного на этапы нормативного (оптимизационного) описания распределений полезностей между игроками в условиях каждой конкретной характеристической функции.

9.2.Предположим, что при - распределении полезности, имеющейся в распоряжении множества игроков /, каждый игрок / G / получит сумму Xj . В результате распределение полезностей может быть описано вектором вьшгрышей X = (xi, .. . , х„) .

Очевидно, каждый раз в конкретных условиях распределения полезности возможно осуществление не произвольного вектора выигрышей, а лишь такого, который удовлетворяет некоторым ограничениям, вытекающим из условий распределения полезности.