назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [ 73 ] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


73

в частаости, для любого игрока z G / должно быть v(i) = - ai/K. Но тогда

согласно (6.9) должно быть v(K) = S v(i), т.е. характеристическая

/ G к

функция v - несущественная.

Достаточность. Если характеристическая функция v - несущественная, то достаточно подвергнуть ее преобразованию аффинной эквивалентности, положив к = I и f (г) = - Д/. □

Таким образом, несущественная характеристическая функция лишена какого-либо кооперативного содержания. Это не мешает ей иметь стратегическое содержание. Например, именно такой является характеристическая функция антагонистической игры.

Кроме того, из доказанной теоремы следует, что все несущественные характеристические функции с одним и тем же множеством игроков аффинно эквивалентны друг другу.

6.5.Свойство аддитивности для отдельных коалиций К и L остается инвариантным при аффинно эквивалентных преобразованиях.

Т ео р eM2L. Если v<у v, то равенство (6.1) равносильно равенству

v (К) + v \L) = vXKUL).(6.9)

Доказательство. Найдем А:> 1 и вещественные а, указанные в определении аффинной эквивалентности. Тогда

v(K) = kv(K) 2 fl,-,

/ G К

vXL) = kv(L)- 2 ai,

v\KUL) = kv(KUL)= S ai,

i G к и L

И равносильность равенств (6.1) и (6.9) оказывается очевидной.

6.6.Формальная характеризация носителя игры дается следующей теоремой.

Теорема. Для того чтобы коалиция NCIбыла носителем в характеристический функции v над I, необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции КС I было

v(K) = v(KnN)- 2 v(i),(6.10)

iK\N

Доказательство. В силу п. 55 доказательство достаточно провести лишь для случая неотрицательной характеристической функции.

Необходимость. Пусть N - носитель в v . Тогда разность K\N состоит только из несущественных игроков, и согласно формулам (6.7) и (6.8) мы имеем (бЛО).

Достаточность. Пусть коалиция N такова, что равенство (6.10) вьшолняется для любой коалиции АГ, а z - существенный игрок в v . Возьмем ту коалицию Ki, для которой вьшолняется неравенство (6.5). Применение к коалиции KUi равенства (6.10) дает нам

viKUi) = v((KUi)nN)- 2i;(/).(6.11)

jiK и i)\N



Вычитая почленно (6.10) из (6.11) , мы получаем v(K и /) - v(K) = v((K и /) ON)- v{K n TV) +

jE(KUi)\NJEK\N(0.12)

Если теперь /TV, то (К U /)\NФK\N, и (6.12) переписьюается как

v(KUi)~v(K) = v(i), что неверно ввиду (6.5) . Следовательно, iCN. □

6.7. Определенная в п. 6.3 несущественность игрока носит как бы универсальный характер: она проявляется во всех его взаимодействиях со всеми коалициями. Вместе с тем представляет интерес и некоторая локальная несущественность игроков.

Определение. Коалиция К в характеристической функции назьшается линейной, если сужение и на 2 является аддитивной функцией (т.е. несущественной характеристической функцией над К).

Содержательно линейную коалицию можно представлять себе в виде группы участников экономического процесса, располагающих однотипными и одинаково скомплектованными ресурсами. Ясно, что для таких участников нет смысла вступать в отношения обмена, а их объединение для совместного производства (в условиях линейной производственной функции) не приведет к повышению эффективности этого производства.

Ясно, что присоединение к линейной коалиции любого множества несущественных игроков линейности коалиции не изменит.

§ 7. О - 1-РЕДУЦИРОВАННАЯ ФОРМА\

7.1.По многим соображениям, и в том числе для возможностей сравнения значений различных характеристических функций на одной и той же коалиции, представляется удобным произвести своего рода нормировку характеристических функций.

Определение. Характеристическая функция v над / назьшается О - 1-редуцированной (имеет О - 1-редуцированную форму) , если

d(/) = О для любого /Е/,(7.1)

v(I)=\.(7.2)

Из определения следует, что всякая 0-1-редуцированная характеристическая функция является неотрицательной и потому неубывающей: из К С L следует

v(K) v(K) + v(L\K) < v{L) .

7.2.Т eo рем a. Всякая существенная характеристическая функция аффинно эквивалентна некоторой О - 1-редуцированной характеристической функции, и притом ровно одной.

До казательство. Пусть v - существенная характеристическая функция. Будем строить нужное преобразование аффинной эквивалентности, находя соответствующие А: и из п. 5.1.



Напишем для этого систему из и + 1 уравнений с и + 1 неизвестными: V (г) = A:i;(/) + а,- = О для / £/,(7.3)

vXl) = kv(I)+ 1, д, = 0.(7.4)

I е /

Матрица этой системы

1 О ... О и(1) О 1 ... О i;(2)

(7.5)

0О ... 1 v(n)

11 ... 1 i;(l) J

имеет определитель, равный vil)- Б v(i),

i = 1

который В силу существенности характеристической функщ1и является положительным. Тем самым доказываемая теорема становится элементарным алгебраическим фактом. □

7.3.Фактическое решение системы (7.3) - (7.4) не составляет труда. Вычитание всех уравнений (7.3) из (7.4) дает нам

к(р{1)- X v(i))=l,

i G /

откуда немедленно находится как искомое к>0, так и все ai = v(i)(vil)- 2 i;(/))--

/ G/

7.4.Например, в случае игры из примера 2 п. 2.2 О -1-редуцированной формой будет характеристическая функция v, для которой v(K) = = B(K)lB(iy

7.5.Заметим попутно, что множество всех О - 1-редуцированных характеристических функций над данным множеством игроков является выпуклым.

7.6.В соответствии со сказанным в п. 3.4 мы можем вместо отдельной характеристической функции рассматривать целый класс аффинно эквивалентных функций. Вместо же такого ютасса мы можем в свою очередь рассматривать одного из представителей этого класса.

В качестве представителя класса несущественных характеристических функций с данным множеством игроков мы будем рассматривать нулевую характеристическую функцию над этим множеством, а в качестве представителя каждого из классов существенных характеристичес1а1х функций - соответствующую О - 1-редуцированную характеристическую функцию.

7.7.Подобно О - 1-редуцированным формам характеристических функций можно рассматривать при произвольных а и Ъ (па Ф Ъ) также и "а - -редзщированные" их формы, понимая подними такие характеристические функции V, для которых V(О =а, iCI v\l) = Ъ.

Нетрудно показать, что всякая существенная характеристическая функция имеет ровно одну а - Z-pe дуди ров анную форму, каковы бы ни бьши аиЪ (если па Ф Ь) ,

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [ 73 ] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]