интерпретации. Фактически именно теоретико-игровые модели и составляют большинство конкретных классов игр, изучение которых является предметом конкретных разделов общей теории игр.

Разработка и анализ таких классов игр, являющихся теоретико-игровыми моделями, назьюают модельным аспектом математического обеспечения прикладных задач.

Теоретико-игровые модели выделяются напожением на компоненты игры, помимо структурных условий, еще и дополнительных условий, более конкретных, чем структурные, но имеющих тем не менее качественный характер. Целая коллекция таких условий касается функций вьшгрыша игроков. К их числу относятся такие свойства функций вьшгрыша, как их выпуклость или другие особенности формы аналогичного характера, типичные расположения множеств точек разрьюа в остальном непрерьгоных функций вьшгрыша и т.д. Часто теоретико-игровая модель представляет собой конечно-параметрический класс бескоалиционных игр. Некоторые классы кооперативных игр также имеют характер моделей.

На протяжении данного курса нам придется неоднократно встречаться с теоретико-игровыми моделями.

6.4. Последующие шаги в конкретизации игр, подлежащих рассмотрению в связи с той или иной теоретико-игровой задачей, заключаются в последовательной, а в идеале - в полной индивидуализации игры. Фактически это обычно проявляется в установлении значений параметров при рассмотрении конечно-параметрических классов игр.

Совокупность приемов и методов такой (полной или частичной) идентификации задачи называется ее информационным обеспечением.

Информационное обеспечение имеет тесные, хотя подчас и довольно сложные связи с модельным аспектом обеспечения.

Информационное обеспечение опирается, с одной стороны, на прямые измерения значений параметров задачи и на статистические вьгооды, сделанные на основании таких измерений, а с другой - на модельные рассмотрения, согласно которым значение параметра пол>чается как решение некоторой задачи. В качестве одного из простейших примеров укажем на вычисление конкретных значений некоторой функции (информационное обеспечение) на основании ее задания дифференциальным уравнением с соответствующими начальными условиями (модельное обеспечение). Переход от постановки прикладных задач к их решеьшю требует привлечения дальнейших аспектов математического обеспечения.

§ 7*. ПРОБЛЕМАТИКА ТЕОРИИ ИГР

7.1. Имея экономическое и социально-экономическое происхождения, теория игр тем не менее является математической дисциплиной, одним из разделов математики. Поэтому она ставит перед собой математические задачи и решает их математическими средствами.

Исходным материалом таких задач являются конкретные игры или классы игр (например, игры, определяемые с точностью до некоторых параметров, принимающих значения из заданных областей). Это могут быть бескоалиционные игры, кооперативные игры или же игры в иных формах, которые мы не вводим в рассмотрение.

7.2.Первый вопрос, который возникает по поводу любой игры или любого класса игр, заключается в выборе для этой игры (класса игр) принципа оптимальности. Говоря математически, речь идет здесь о том, по какому закону следует играм из некоторого класса ставить в соответствие те или иные их исходы, их ситуации, которые и будут квалифицироваться как оптимальные. Выше мы видели, что говорить о едином принципе оптимальности не приходится, и это является не недостатком имеющегося представления об оптимальности, а свидетельствует о содержательной противоречивости и поэтому о множественности вариантов этой концепции. Подчеркнем, что здесь речь идет не только о свободном (или лучше сказать, обдуманном) выборе предмета исследования, но чаще о решении определенной математической задачи: нахождении отображения (класса игр в класс их исходов), обладающего определенными свойствами естественности, убедительности.

Самой постановкой такого вопроса теория игр существенно отличается в настоящее время от других разделов математики, где категория целесообразного если и встречается, то носит пока еще неформальный, интуитивный характер.

7.3.После выбора для рассматриваемого класса игр принципа оптимальности проблематика теории игр в принипе перестает отличаться от проблематики других математических дисциплин. Она состоит в установлении зависимости между свойствами самих игр, с одной стороны, и свойствами их оптимальных исходов, реализаций выбираемых принципов оптимальности - с другой.

Наиболее слабой формой такой зависимости является констатация реализуемости принципа оптимальности (т.е. существование оптимальных, исходов) для заданных классов игр. Наиболее сильной формой оказывается исчерпьшаюшее описание всех реализаций принципа оптимальности (оптимальных исходов) для всех игр данного класса.

Можно сказать, что этот круг задач составляет методический аспект теоретико-игрового обеспечения прикладных задач.

7.4.Наконец, вопрос об эффективном, алгорифмическом нахождении реализаций принципов оптимальности составляет алгорифмический аспект теоретико-игрового обеспечения задач. Относящиеся к этому аспекту вопросы исследуются преимущественно стандартными математическими методами, хотя, разумеется, теория игр, подобно любой другой математической дисциплине, постоянно вырабатьшает свои собственные приемы решения задач.

Глава 1 МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

§ 1. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

и.Определение. Тройка

Г = <х,у,Я>,(1.1)

где X и у - непустые множества и Я: х X у -> R, назьшается антагонистической играй.

При этом элементы множеств х и у называются соответственно стратегиями игроков 1 и 2 в игре Г, элементы произведения х X у (т.е. пары стратегий вида (х, у), где х Gx и у G у) - ситуациями в ней, а функция Я - функцией выигрыша игрока 1, а также функцией выигрыша самой игры Г. □

В данной главе будут рассматриваться только антагонистические игры. Поэтому указание на их антагонистичность мы иногда будем опускать.

Содержательно игру Г из (1.1) можно понимать как процесс, состоящий в выборе игроками 1 и 2 своих стратегий х G х и у Gy и в получении игроком 1 от игрока 2 суммы (полезности) Я (х, у). Так как всякое действие, выполняемое одним лицом, отличается от действия, выполняемого другим лицом, мы можем считать, что множества х и у не пересекаются.

1.2.Между различными игроками могут иметь место те или иные соотношения.Простейшее из них, отражающее диапектическую связь тождественного и иного, состоит в том, что одна и та же игра может рассматриваться с различных точек зрения.

Определение. Антагонистическая игра

Г = <х,у,Я>(1.2)

называется аффинно эквивалентной антагонистической игре Г из (1.1), если X = X, у = у и существуют такие вещественное а и положительное к, что

Н = кНа.(1.3)

Аффинная эквивалентность игры Г игре Г обозначается через Г -Г. □ Содержательно аффинно эквивалентные игры отличаются друг от друга лишь точками начала отсчета полезностей, приобретаемых (или теряемых) игроками в результате игры, а также масштабами измерения этих полезностей. .Поэтому аффинно эквивалентные игры мы можем рассматривать как различные формальные описания одной и той же игры.

1.3.Теорема. Отношение аффинной эквивалентности между играми является отношением эквивалентности, т.е. обладает свойствами: