т.е. антагонистические игры Г(А:) и Т(К) оказьшаются изоморфными, так что по теореме п. 5.3 гл. 1 они имеют одно и то же значение. Последнее и означает (1.10). □

1.11. Следствие. Если тг есть автоморфизм игры Г, то

Vr(7rK) = Vr(K){KCI).(1.11)

Это получается, если в (1.10) положить Г = Г. □

§ 2. АБСТРАКТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

2.1.Говоря абстрактно, характеристическая функция бескоалиционной игры состоит в постановке в соответствие каждому подмножеству некоторого множества (игроков) вещественного числа. Поэтому о ней можно говорить и вне какой-либо связи с бескоалиционными играми. На этом пути возникает весьма плодотворное понятие кооперативной игры, о которой речь будет идти ниже.

Определение. Характеристической функцией над множеством / назьшается отображение

v: 2->R.(2.1)

Далее мы будем множество / предполагать конечным, а его элементы назьшать игроками.

Если не оговорено противное, мы будем полагать / = {1, ... , at).

Как обычно, любое подмножество множества всех игроков / назьшается коалицией. □

Содержательно характеристическая функция (2.1) онисьшает следующее положение дел. Пусть игроки из / находятся в таких условиях,.что, вступая, если нужно, в отношения производства и обмена, они могут получать те или иные сравнимые между собой вьшгрыши (полезности). Характеристическая функция V ставит при этом в соответствие каждой коалиции К CI наибольший уверенно получаемый ею вьшгрыш v(K).

Теория кооперативньЕк: игр, элементы которой нам предстоит изложить в данной главе, заключается в том, чтобы для процесса, приводящего к данной характеристической функции, указьшать в том или ином смысле оптимальные распределения получаемой полезности между игроками.

2.2.Характеристические функции могут иметь самое разнообразное содержательное происхождение. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Пусть группа / неквалифицированных работников выполняет однородную работу, причем каждый из работников / может выполнить некоторый объем работы и заработать (в соответствующем масштабе цен) сумму af.

В этом случае суммарный заработок коалиции К CI, очевидно, будет равен S Л/, что и является значением v(K).

При мер 2. Пусть в условиях предьщущего примера каждый из работников / Е / имеет некоторый индивидуальный навык, которым владеет только он один из всего множества / и который позволяет увеличивать на некоторую сумму bij заработок каждого работника /, который с ним работает в одлом коллективе (коалиции).

Здесь заработок каждого участника коалиции К будет равен di + 2 bfj

(каждый член К пользуется навыками всех остальных членов А), и в соответствии с этим заработок всей коалиции К будет равен

Последнюю сумму мы будем обозначать через В {К).

Пример 3. Пусть мы имеем дело с рынком, на котором имеются продавец (Пр) некоторой штуки неделимого товара, оцениваемого им в а, и два покупателя (П, и Пг), ценящих этот товар соответственно в Z? и с. Очевидно, если а Z?, то продавец не имеет материальных стимулов вступать в сделку с покупателем П,, а если а>с, то с П2. Поэтому мы будем предполагать, что а<Ьс.

В начальные момент распределения полезностей среди участников рынка таково: а. О, 0. После акта обмена продавца с П, по цене х распределение будет таким: х, Z? - х. О, а после обмена с П2 по цене х - х, с - х.

Поэтому в результате обмена продавца с первым покупателем суммарная полезность возрастет на b - а, а в результате его обмена со вторым - на с ~а.

Таким образом, легко убедиться в том, что здесь и(ф) =0, i(ni)-1;(П2) = 1;(П1,П2) = 0, и(Пр) =0, и(Пр,П1)=Ь - а, 1;(Пр,П2) =1;(Пр,П1,П2) = -й.

2.3. Хотя, говоря формально, характеристическая функция из (2.1) может быть вполне произвольной, но по многим соображениям естественно ограничиться рассмотрением характеристических функций, обладающих некоторыми свойствами, о которых мы уже говорили в § I при рассмотрении характеристических функций бескоалиционных игр.

Персональность:

и(ф) = 0.(2.2)

Это свойство характеристической функции отражает то обстоятельство, что в теории игр выигрьпни (или проигрыши) приписьшаются лишь игро-* кам и их объединениям.

Супераддитивность: для любых К, L С/, для которых имеет место К ПЬ=ф,

v(K) + v(L)<v(K и L).(2.3)

Это свойство отражает "кооперативный эффект" социально-экономических явлений, состоящий в том, что при объединении усилий двух групп участников явления итоговый результат оказьшается не меньшим (а, как правило, и большим), чем алгебраическая сумма результатов от деятельности каждой из групп.

Далее мы будем ограничиваться, не оговаривая этого каждый раз особо, рассмотрением лишь характеристичес1сих функций, обладающих свойствами персональноста и супераддитивности.

Отметим еще одно свойство характеристической функции.

До полнительность: для любой коалиции К С/ имеет место

v(K) + viI\K) = v(J),(2.4)

Свойство дополнительности проявляется в тех случаях, когда соответствующий характеристической функции v социачьно-экономический процесс связан не с производством и потреблением каких-либо полезностей, а лишь с их перераспределением (каковыми являются, например, процессы обмена).

В отличие от свойств персональности и супераддитивности свойство дополнительности характеристической функции не будет предполагаться автоматически выполненным, а в тех случаях, когда оно имеет место, будет каждый раз специально оговариваться.

2.4. Из свойства супераддитивности (2.3) тривиальной индукцией получается ее распространение на объединение любого числа коалиций: для любых попарно непересекающихся коалиций Ki,.. . , Kj

2 v{Ki)<v{ и Ki).(2.5)

В частности, если каждая коалиция А/ состоит из единственного игрока, то формула (2.6) может быть записана в виде

2 v{i)v{K),(2.6)

§ 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

3.1. Конструкция характеристической функции бескоалиционной игры является для общей теории характеристических функций в некотором смысле универсальной.

Теорема. Какова бы ни была функция

V: 2R(3.1)

с конечным множеством, игроков /, обладающая свойствами персональности и супераддитивности, существует конечная бескоалиционная игра

Г = </Лх/}., {Hi).j)(3.2)

с тем же множеством игроков /, характеристическая функция Vy которой совпадает с v.

До казательство. Будем по характеристической функции v из (3.1) строить бескоалиционную игру Г из (3.2) следующим образом. Прежде всего, положим

xi = 2\\(3.3)

Таким образом, стратегию Xf игрока i можно понимать как предложение, адресуемое игроком / некоторой группе игроков, составить вместе с ним коалицию.