назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [ 68 ] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


68

1.6. Супераддитивность. Для каждой бескоалиционной игры Vy{K\JL)Vy{K)Vy{L), если K,LCI и КП1=ф. (1.4) Для доказательства этого утверждения заметим, что Vr(KUL)= sup inf 2 Hi(XKUL,Yj\j,uL)l

где через Xul обозначаются смешанные стратегии коалиции К UL, т.е. произвольные вероятностные меры на Хкиь через У/\(л:иь) - вероятностные меры на yj\(KuL) ♦ Если ограничиться только такими вероятностными мерами на Хих» которые являются произведениями независимых распределений Х и Х на декартовом произведении Хк X х, то область изменения переменной, по которой производится максимизация, сузится, и написанный супремум может разве лишь уменьшиться. Таким образом, мы имеем

vAK и L) sup sup2 HtiXfcXL, и l))-

В написанном неравенстве левая часть не меньше, чем наибольшее значение стоящей справа под знаком максимумов функции. Следовательно,и каждое значение этой функции не превосходит левой части неравенства:

v{KV) inf2 Я,(Л,Х, Гд()),

v(KUL)> inf ( 2 ЯДX,Лi,Уr\(iuL)) +

I\(KUL)

+ 2 Я,(Х;,,Х, F,\(uL))).

Заменим теперь стояпщй справа инфимум суммы на сумму инфимумов (при этом, очевидно, правая часть может только уменьшиться, так что неравенство не нарушится):

viKUL) inf 2 Hi(XK,XL.Yr\KUL))

I\{KUL)

+ inf 2 Я,(Х,Х, F,\(uL)).

l\iKUL)

Минимизация первого слагаемого справа по Х, г второго - по Xf- (для единообразия мы переименуем их соответственно в и Yf) может привести лишь к дальнейшему уменьшению правой части

Vr(KUL)m{ inf 2 Я,(Х, У, rj\(uL)) +

+ inf inf 2ЯДХ,Г,Гд(и)).

В первом слагаемом справа минимизация осуществляется по паре независимых мер на произведении Xj xj\{kul) х/\д:. Переход к минимизации по произвольной мере на произведении х/\/ расширяет область минимизации и тем самым может лиил> уменьшить ин-



фимум.По тем же причинам переход во втором слагаемом к минимизации по произвольной мере на произведении Xj\x может также лишь уменьшить его. В итоге мы имеем

Vr(KUL) inf 2 Hi(XK.Yj\K)- inf 2 Я,(Хг, Гдл)-

Написанное неравенство справеотиво при любых значениях мер Xj в первом слагаемом и Х во втором. Следовательно, мы можем по этим мерам перейти к супремумам:

VriK и L) sup inf 2 HiiXK. Yj\) +

+ sup inf 2 Я,(Х,Гд),

откуда, no определению характеристической функции,

VriKUL)>VriK) + Vr(L),(1.5)

и требуемое доказано. □

Содержательно свойство супераддитивности характеристической функции может быть интерпретировано следующим образом.

Пусть K,L CI иК DL =ф. Число Vj-iK) есть гарантированный вьшгрыш коалиции К в игре Г в условиях противодействия ей всех игроков из 1\К (которые в нашей интерпретации являются непримиримыми врагами игроков из А), и в том числе - всех игроков из L. Значит, если игроки из L из врагов К превратятся в союзников, то игроки из К получат, во всяком случае, не меньше чем Ur (К). По тем же причинам игроки из L, если игроки из К превратятся из их врагов в союзников, получат не менее чем Ур (L).

Следовательно, если игроки из К объещшятся с игроками из L в одну коалицию и X, то игроки из К получат не менее чем Vi>iK), а игроки из I - не менее чем viL). Но по определению они вместе теперь получат уверенно игчто и означает (1.5).

1.7. Следующее свойство присуще характеристическим функциям не всех бескоалиционных игр, а лишь игр с постоянной суммой ( см. п. 1.4 гл. 2).

Дополнительность. Для любой бескоалиционной игры Г с постоянной суммой

Vr(K) + Vr{I\) = Vr{I),(1.6)

Заметим, прежде всего, что для бескоалиционной игры с постоянной суммой

vr(l)= S Я,(х) = с.

Напишем теперь

v(K)= sup inf 2 Hi{XK.Yj\) =

= sup inf (с- 2 Я,(Х,Гд)) =

I\KiI\K

= c-inf sup 2 Hi{XK,Yj\K) = c~v{I\K\

откуда и следует требуемое. □



Содержательно дополнительность характеристической функции является весьма ослабленной формой постоянства, суммы соответствующей бескоалиционной игры. Разумеется, постоянство суммы бескоалиционной игры не является необходимым условием дополнительности ее характеристической функции. Читатель без труда может подобрать соответствующие примеры.

1.8.Обратим внимание на то, что нахождение характеристической функции бескоалиционной игры сводится к нахождению значений некоторого числа антагонистических игр, и потому по существу относится к теории антагонистических игр.

Например, для биматричной игры Г = Г(Л, В) будет

i;p(0) = О, Vj.(l) = , Vj.(2) = vT, Vr(l,2)= max (а +Z?y).

1.9.Свойства однородной аффинной эквивалентности, изоморфности и автоморфизмов бескоалиционных игр сохраняются при переходе к их характеристическим функциям в смысле, описьшаемом следующими теоремами.

Теорема. Если бескоалиционные игры

Г = </,{х,}.,{Я,).> и Г = </,{х,}.,,{Я/}.>(1.7)

однородно аффинно эквивалентны, причем для всех л: G х

H;(x) = kHi(x) + ai,(1.8)

то для любой коалиции К CJ

Vr(K) = kvr(K)+ 2 fl,-.(1.9)

Доказательство. Из(1.8) следует, что для любой коалиции К CI 2 н;(х) = к 2 ЯДх)+ 2 ai,

iKiKiK

так что аффинно эквивалентными оказываются и антагонистические игры Т{К) и Т{К), Но тогда по теореме п. 5.3 гл. 1

a это и означает (1.9). О

1.10.Теорема. Если тт - изоморфизм игры Г на игру Г из (1.7), то

Vj.(7rK) = Vj.(K).(1.10)

Доказательство подобно предьщущему. Изоморфность Г и Г означает, что при любой коалиции С/и ситуации (x/,7j\,) имеет место равенство

Ki (к Ут \к) = ((Рк Ут\к)-Суммируя по iGK (или, что то же самое, по тг/ G ттК), получаем

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [ 68 ] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]