назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [ 67 ] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


67

а при / = 1 -

Изменение знака частей первого из этих равенств превращает эту систему равенств в условие равновесности вполне смешанной ситуации в игре из предьщущего параграфа. Поэтому в единственной вполне смешанной ситуации равновесия каждый из игроков выбирает свою первую чистую стратегию с вероятностью 5 = 2 - \/2l являющейся иррациональным числом.

24.4. Как было показано в п. 13.4, в любых биматричных играх (и в том числе - конечных антагонистических играх) с рациональными значениями функций выигрыша ситуации равновесия описьшаются рациональным образом. Поэтому приведенный пример показьюает, что конечные полиантагонистические игры могут не поддаваться сведению к последовательному решению конечного числа конечных антагонистичес1сих (и даже биматричных) игр.



Глава 4

КЛАССИЧЕСКИЕ КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ

§ 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГР

1.1.Пусть нам дана бескоалиционная игра

Г = </,{х/}.,, Ш,}.,).(1.1)

Предположим, что игроки, составляющие некоторую коалицию К С 1 обьединяются в условиях этой игры для борьбы в общих для них интересах. Поставим вопрос о том наибольшем вьшгрыше, который игроки из К могут с уверенностью совместно получить.

1.2.Проанализируем поставленный вопрос с теоретико-игровой точки зрения. Объединение игроков из К означает превращение их в единого игрока. Назовем его игроком 1. То, что игроки из К начинают действовать совместно, означает, что стратегиями этого объединенного игрока 1 являются всевозможные комбинации стратегий составляющих его игроков из К, т.е. элементы декартова произведения х: = П х/. Общность ите-

ресов игроков из К означает, что вьшгрыш объединенного игрока 1 есть сумма вьшгрышей составляющих его игроков из К:

Нк(х)= 2 Я,(х).(1.2)

Нас интересует тот наибольший вьшгрьпп, который игроки из К могут уверенно получить. Но что вообще может помешать им получать достаточно большие вьшгрыши, допускаемые значениями функций Я,? Очевидно, деятельность игроков, не вошедших в К, т.е. игроков изi \ А. В худшем для игрока 1 случае игроки из 1\К могут также объединиться в некоторого коллективного игрока 2 с множеством стратегий

х/\/с= П X,

и с интересами, диаметрально противоположными интересам игрока 1,

Таким образом, мы по бескоалиционной игре Г из (1.1) и коалиции А в ней конструируем антагонистическую игру

Г;,=<х;,, xj\K,K>-(1.3)

Обратим внимание на то, что множество ситуаций х X Х/ в этой бескоалиционной игре формально совпадает с множеством ситуаций х = Х/ в исходной бескоалиционной игре (1.1).

Заметим также, что антагонистическая игра (1.3) представляет собой картину, рассматриваемую с точки зрения коалиции К. В частности, здесь никак не отражается фактическая (собственная) точка зрения коалиции



и входящих в ее состав игроков. Коалиция К отвлекается от мыслей о том, каковы у коалиции 1\К интересы (функции выигрыша Я/ игроков j G 1\К даже не участвуют в описании антагонистической игры (1.3)!) и как она их может осуществлять. Коалиция К в рамках игры (1.3) заботится единственно о том, в какой мере коалиция 1\К сможет ей навредить, если того пожелает.

1.3.В результате проведенных рассуждений вопрос о наибольшем гарантированном выигрыше коалиции К в игре Г из (1.1) превратился в вопрос о наибольшем гарантированном вьшгрыше игрока 1 в антагонистической игре Ifc из (1.3). Но этот выигрыш есть, в соответствии с принятым принципом максимина, значение игры Тк (разумеется, в предположении, что игра (1.3) имеет значение). Очевидно, значение игры Tfc зависит в конечном счете только от коалиции К (и еще, разумеется, от самой исходной бескоалиционной игры Г, которая, однако, в наших рассуждениях остается одной и той же), являясь ее функцией. Эта функция называется характеристической функцией бескоалиционной игры Г. Мы будем ее обозначать через Ур. Подчеркнем, что характеристическая функция всякой бескоалиционной игры задана на семействе всех подмножеств множества

игроков и принимает вещественные значения: ir: 2 -> R.

1.4.В сущности, переход от бескоалиционной игры Г из (1.1) к ее характеристической функции Vy можно рассматривать как итог последовательно проводимого принципа максимина. Тем самым характеристическую функцию Vy можно считать как бы решением игры г.

Замена игры Г ее характеристической функцией Vy означает существенную редукцию оптимизационного анализа игры Г. Имеются весьма сильно отличающиеся друг от друга бескоалиционные игры с одной и той же характеристической функцией. Например, функция v, для которой v{ф) - О, i;(l) =Vq, v{2) = -Уо> i(l>2) = О, является характеристической функцией любой антагонистической игры, имеющей значением число Vq .

В результате замена игры Г ее характеристической функцией Vy , снимая вопрос о нормативном поведении игроков, не приписьшает им, однако, каких-либо обоснованных индивидуальных выигрышей. Последнее может быть достигнуто лишь введением дополнительньгх: оптимизационных соображений. В связи с этим изучение характеристических функций бескоалиционных игр составляет целую теорию, которая назьшается кооперативной теорией бескоалиционных игр.

1.5.Установим два свойства, которыми обладает характеристическая функция любой бескоалиционной игры.

Персональность. Для каждой бескоалиционной игры Г (ф) = 0. Действительно, по определению (см. п. 1.2) Щ{х)= Z Я,(х),

а последняя сумма не содержит слагаемых и поэтому равна тождественно нулю на множестве всех ситуаций. Таким образом, в игре Гф функция выигрьппа игрока 1 тождественно равна нулю, а потому и значение в этой игре должно быть равно нулю.

Содержательно персональность характеристической функции бескоалиционной игры означает, что вьшгрыши в ней приписьюаются только тем или иным игрокам ("лицам").

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [ 67 ] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]