полезности. Если она выступит также одна, но вечером, то завербует вдвое больше покупателей и получит 2 единицы полезности.

В качестве другой интерпретации этого же конфликта можно привести игру "морра трех лиц", в которой каждый из трех игроков показывает ("выбрасывает") один или два пальца. Его выигрыш равен числу показанных им пальцев, если каждый из его партнеров по игре показывает другое число пальцев, и равен нулю в остальных случаях.

23.2.Куб ситуаций для этой игры с приписанными его вершинам выигрышами игроков, определенными в соответствии с указанными правилами игры, изображен на рис. 3.12.

Неравенство (20.4) приобретает для игрока 1 в случае этой игры вид

ЬЬ2(1-~52)(1-Ь).(23.1)

Соответствующие области X J, X i и X } изображены на рис. 3.13. Очевидно, множество xi является дугой гиперболы.

Таким образом, множество )Si (Г) всех ситуаций, приемлемых в нашей игре для игрока 1, состоит из всех ситуаций вида

(о,Ь,Ь),где (Ь, b)exj,

(5i,b,b), где(Ь,Ь)Х1 , а 5i произвольно из [0,1],

(1,ь,ь), где (ь; Ь)ех1 .

Расположение множества всех приемлемых для игрока 1 ситуаций в кубе всех ситуаций изображено на рис. 3.14. Заметим, что это множество симметрично относительно 2 и 5з-

23.3.Множества й2(Г) и бз(Г) всех ситуаций, приемлемых соответственно для игроков 2 и 3, получаются из Si (Г) перестановкой координат, а множество 2. всех ситуаций равновесия в рассматриваемой игре является по определению пересечением i (Г) П 2 () з (Г)-Опишем это пересечение.

Заметим прежде всего, что в каждое из множеств приемлемых ситуаций i(r), i?2,(r) и з(Г) входят одни и те же шесть ребер куба (вместе с лежащими на них вершинами). Поэтому эти ребра должны входить и в множество Й(Г) ситуаций равновесия игры. Отметим среди них особо ситуации (1, О, 0), (О, 1, 0) и (О, О, 1). В каждой из них выигрыш одного

Рис. 3.14

Рис. 3.15

ИЗ игроков равен двум, а выигрыш каждого из остальных - нулю. Эти ситуации равновесны и выгодны, но несправедливы.

Далее, точки el (Г), 2(Г) и йз (Г) лежащие внутри граней куба, находятся соответственно на различных парах противоположных его граней, но внутренности различных граней куба попарно не пересекаются. Поэтому в рассматриваемой игре ситуаций равновесия, соответствующих внутренним точкам граней куба, нет.

Найдем, наконец, внутренние точки куба, принадлежащие "(Г). Очевидно, они являются и внутренними точками куба, принадлежащими каждому из множеств i(r), 2(Г) и ёз(Г), т.е. каждой из цилиндрических поверхностей. Эти поверхности пересекаются в единственной точке, все координаты которой равны друг другу. Поэтому и из (23.1) следует, что каждая координата % такой ситуации равновесия должна удовлетворять уравнению = 2(1 - ), откуда % -\и( \ - ) (стоящие в частях этого равенства числа неотрицательны, поэтому мы ограничиваемся арифметическим значением корня), так что 5=2 - \/?= 0,586. Выигрыш каждого из игроков в этой ситуации равновесия в соответствии с (23.1) равен 0,242.

Окончательный вид множества (Г) изображен на рис. 3.15.

23.4. Ситуация равновесия игры, лежащая внутри куба ситуаций, соответствует некоторому устойчивому и притом справедливому соглашению между участниками игры. Охшако, давая всем трем игрокам суммарный выигрыш 0,726, она представляется уж очень невыгодной.

В ситуациях же равновесия, расположенных на ребрах куба ситуаций, наблюдается примечательное явление: игрок, координата которого изменяется вдоль соответствующего ребра, на ситуациях этого ребра не получает ничего; зато именно он определяет величину выигрыша каждого из остальных игроков.

Поэтому представляется разумным дать одному из игроков (скажем, первому) возможность выступить в одиночку вечером (ситуация (1, О, 0)) и получить выигрыш в две единицы, обязав его за это поделиться своим выигрышем. Такого рода кооперативные соглашения будут рассматриваться в следующей главе.

§ 24. ПОЛИАНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

24.1. Как отмечалось в п. 16.4, даже явление, в котором зд1аств5лют лица с полностью совпадающими интересами, может описываться нетривиальной теоретико-игровой конструкцией.

Тем более естественно предполагать, что можно найти явления с диаметрально противоположными интересами участников, которые описывались бы неантагонистическими играми, и даже решение их не сводилось бы к решению антагонистических игр.

Рис. 3.16

24.2.Определение. Бескоалиционная игра Г= </,{х/Ье/, {Я,Ье/>

называется полиантагонистической, если имеется такое разбиение / = = Ки L{K С\ L = ф) , что для любой ситуации х {х) = -Я/ (х) для всех кеК и I L.

24.3.Полиантагонистические игры составляют существенно более широкий класс игр, чем антагонистические. В этом нас убеждает следующий пример.

Пусть в диадической игре трех лиц Г значения вьшгрышей игроков в двух ситуациях указаны на рис. 3.16, а их выигрыши во всех остальньгх ситуациях в чистых стратегиях равны нулю. Полиантагонистичность этой игры очевидна.

На поверхности куба ситуаций этой игры, как нетрудно убедиться, имеются две ситуации равновесия и притом в чистых стратегиях: 5i = ~ О, Ь = 1 и Ь =Ь=1, Ь=0.

Будем искать вполне смешанные ситуации равновесия. В силу дополняющей нежесткости для таких ситуаций Xдолжно бытьЯ,-(Х 0) =

= Щ{х\\\). Полагая, как обычно, Х,(1) =5,- (/=1,2,3), мь1 при / = 3 получаем

-(0-?i)(0-?2)= ~Ul?2,

пщ i = 2-

(l-5i)(l-b) = 25i53,