22.4. Опишем множество £(Т) = (Г) П (Г) П йз (Г). Сначала рассмотрим те точки множества й(Г), которые являются вершинами куба ситуаций.

Одной из них будет точка (1, 1, 1), т.е. пересечение секторов Ci ПС2 П ПС3. Эта ситуация равновесия, в которой каждый из участников несет потери в 3 единицы, описывает своего рода "равновесие безнадежности", когда переход любого предприятия на чистую технологию не спасает общего положения и лишь ухудшает его собственные экономические показатели.

Дальнейшие три ситуации равновесия получаются как пересечение Ш] П ПШ2 ПСз (вершина (О, О, 1)) и симметричные ему пересечения Ш1 П П С2 < Ш 3 (вершина (О, 1, 0)) и С i П Ш2 П Шз (вершина (1, О, 0)) . Каждая из этих ситуаций характерна наличием "нахала", единолично исчерпывающего все "ресурсы загрязнения" и вынуждающего своих партнеров по природопользованию придерживаться чистой технологи! под страхом их собственных потерь. В этих ситуациях равновесия "нахал" не несет потерь вовсе, а потери остальных (называть их "совестливыми" здесь не вполне уместно, так как выбор каждым из них чистой технологии оказывается все-таки вынужденным) равны единице.

Проверка остальных вершин куба ситуаций показывает, что больше ситуаций равновесия среди них нет.

В частности, не является равновесной природоохраняющая ситуация, в которой каждый из участников игры применяет свою чистую технологию: каждому из игроков выгодно от нее отклониться.

223. Рассмотрение ребер куба ситуаций показывает, что среди внутренних точек этих ребер нет ситуаций равновесия.

Обратимся к внутренним точкам граней. Здесь возможны три ситуации равновесия: определяемая пересечением Ui П Ц2 П Шз (точка куба с координатами (1/3, О, 1/3)) и симметричные ей Ц1 niil2 ПЦ3 (имеющая координаты (1/3,0, 1/3)) и llli ПЦ2 ПЦз с координатами (О, 1/3, 1/3)). Эти ситуации в отличие от трех предьщущих характерны наличием "сознательного" природопользователя, применяющего чистую технологию. Такое его поведение дает возможность остальным допускать умеренное загрязнение среды. Впрочем, после того, как эти два игрока такие свои стратегии выбрали, "сознательность" первого превращается из добродетели в необходимость: отклонение от ситуации равновесия невыгодно ни для кого!

Потери игроков в первой из таких ситуаций равновесия равны соответственно 13/9, 13/9 и 21/9, а в остальных двух получаются из указанных циклической перестановкой. Отсюда видно, что в этих условиях сознательность требует известных затрат.

22.6. Ситуации равновесия, лежащие внутри куба ситуаций, могут быть получены лишь как пересечения Ц1 П Ц2 П Ц3 или Ц i П Ц2 П Ц 3.

Так как, в частности, каждая из этих ситуаций лежит на цилинде Ц 3 U иДз, для них соотношение (22.1) должно выполняться со знаком равенства:

(l-35i)(l-3b) = 35i52.(22.3)

Ввиду того, что эти ситуации лежат и на двух других цилиндрах, мы можем для их компонент написать два аналогичных равенства и решать получив-

13*195

шуюся систему, которая, в силу симметричности рассматриваемой игры, будет симметричной относительно неизвестных

1,2 И5з.

Впрочем, симметричностью игры можно воспользоваться и более непосредственно. Ввиду одинакового расположения пересекающихся цилиндров относительно соответствующих осей координат, ситуации равновесия, являющиеся точками пересечения этих цилиндров, должны сами быть симметричными: для них должно быть

Ь = Ь = Ь =i (22.4)

Существование таких симметричных ситуаций равновесия можно было бы предсказать на основании теоремы п. 11.3. На этих ситуациях осуществляется не только устойчивость, но и справедливость.

Из (22.3) и (22.4) мы получаем (1 - 3) = 35\ откуда 1 - 3? = ± 5\/ и окончательно -

13+V1 Д

Рис. 3.11

(22.5)

3±>/?62 6

т.е. 5i = 0,211 и 2 = 0,789. Иными словами, внутри куба ситуаций оказываются две ситуации равновесия:

(0,211,0,211,0,211) и (0,789,0,789,0,789).(22.6)

Для подсчета выигрышей игроков в этих ситуациях подставим в одну из частей соотношения (22.1) Ь =2 =5 и возьмем 5 из (22.5). После простых вычислений мы получим

Я,(5,0) = 35- 3 = -2+ -,

т.е. числа -1,134 и -2,866.

Обе ситуации (22.6) являются устойчивыми (равновесными) и симметричными (справедливыми). При этом первая из них еще и достаточно выгодная, а вторая - нет: как по поведению игроков в ней, так и по своим последствиям (выигрышам игроков) она близка к "равновесию безнадежности" (1,1, 1).

Таким образом, окончательно оказывается, что рассматриваемая игра имеет 9 ситуаций равновесия. Все они изображены на рис. 3.11.

Как обычно, устойчивость вступает здесь в противоречие с выгодностью и справедливостью. В порядке преодоления этого противоречия игроки могут выбрать ситуацию равновесия с "нахалом", обязав "нахала" выплачивать каждому из остальных игроков компенсацию в размере 1/3 (ср. п. 16.2).

22.7. Поучительно заметить, что даже среди справедливых (симметричных) ситуаций в данной игре, т.е. таких ситуаций, для которых соблюдается (22.4), равновесные ситуациии не совпадают с выгодными. Это напоминает известные из области механики факты, когда симметричное состояние, стабильное по отношению к симметричным формам потери устойчивости, утрачивает свою стабильность по отношению к несимметричным формам потери устойчивости.

Действительно, справедливые ситуации суть тройки вида (,,)- Для вычисления наиболее выгодной ситуации из числа справедливых заметим, что выигрыш каждого игрока в такой ситуации равен, как нетрудно подсчитать, 6 - 12 + - 1. Производной этой функции будет

18 -24 + 1.(22.7)

При = О значение производной оказьюается положительным, так что ситуация (О, О, 0) не является такой уж выгодной даже в классе всех симметричных (справедливых) ситуаций в смешанных стратегиях. Небольшое увеличиение от нуля (т.е. "легкое нарушение экологической дисциплины") будет в условиях данной игры приводить к некоторому росту выигрьппей каждого из игроков (а говоря точнее, к уменьшению их потерь).

Очевидно, корнями производной (22.7) будут = 12\/ 4 ±>Л4

"186

из которых теоретико-игровой смысл имеет только тот, который соответствует знаку минус: = 0,043. Соответствующие этому значению потери игроков составляют 0,96, что меньше, чем оказывающиеся в равновесной симметричной ситуации 1,134.

Таким образом, плата за равновесность в условиях справедливости для данной задачи составляет 0,17 единиц.

22.8*. Обратим, наконец, внимание на то, что вероятности в (22.5) являются иррациональными числами.

Как было отмечено в п. 13.4, описание множества ситуаций равновесия биматричной игры (т.е. конечной игры двух лиц) есть рациональная операция. Иррациональность же числа 5 в (22.4) означает, что решение данной игры трех лиц принципиально несводимо к решению какого-либо конечного числа игр двух лиц. Конфликты с тремя участниками оказываются, таким образом, принципиально более сложными, чем конфликты с двумя участниками.

Между прочим, с точки зрения нахождения ситуаций равновесия дальнейшее увеличение числа игроков в игре к дальнейшим сложностям решения этих игр не приводит. Именно, какова бы ни бьша конечная игра п лиц, существует конечная же игра трех лиц, из ситуаций равновесия которой ситуации равновесия исходной игры получаются рациональным (и притом достаточно простым) образом.

§ 23. "ДЕЗОРИЕНТИРУЮЩАЯ РЕКЛАМА"

23.1. Рассмотрим следующую игру, которую можно интерпретировать как конфликт в области рекламы.

Для некоторой категории покупателей, желающих приобрести к предстоящему празднику непременно "лучший подарок" и черпающих свою информацию о товарах из передач по телевидению, три фирмы (игроки 1, 2 и 3) выпустили три вида подарков, и каждая из них рекламирует свое изделие как лучшее. Каждая фирма имеет две стратегии осуществления рекламы: 1) в вечерней телевизионной передаче; 2) в дневной телепередаче. Если одновременно свой товар как лучший будет рекламировать более чем одна фирма, то каждый покупатель из рассматриваемой нами категории усмотрит в этом противоречие и вовсе откажется от покупки. Фирма, выступающая одна с рекламным объявлением днем, завербует столько покупателей, что реализует свой товар с получением 1 единицы