назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [ 64 ] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


64

при 5° = 1 это неравенство переписывается как L Hi{\,K)X{K) к

5,1:. я,(1, пх{к)-{\ - Ь) 2 Hi{o,K)X{K%(lo.s)

или, после очевидных упрощений, ~ как (1 5/) 2 Я,(1,0 W*)

< (1 - 5,) Z ЯДО, К)Х(К).(20.6)

Аналогично, полагая в (20.4) 5z = О, мы получим

Hi(o,K)x(K)ii: Hi(\,K)x(K).aoj)

при %i ~ I неравенство (20.6) выполняется автоматически,а (20.7) записывается как

S ЯДО,а0х(А*) Z Hi(\,K)X{K\(20.8)

При 5/ = О наблюдается симметричная картина:

i: Hi{\,K)X{K)Y..Hii,K)X(K%(20.9)

20.4.Обозначим через Xi множество таких комбинаций стратегий игроков из/\/, что для ситу ащш вида (1, X), где X GX{, неравенство (20.8) выполняется со знаком строгого неравенства, черезХ.= - множество таких комбинаций, что Д1Я соответствующих ситуаций (20.8) выполняется со знаком равенства, и через Xq - все остальные комбинации стратегий (для соответствуюнщх ситуаций неравенство (20.8) будет неверным).

Из сказанного выше следует, что приемлемыми для игрока i в игре Г будут все ситуации вида

(0,Х*), гдеXyL(20.10)

(1,х0, гдеXGXL(20.11)

(5/, ХО, прилюбых XGXL и 5, G [О, 1].(20.12)

Множества ситуаций вида (20.10) и (20.11) представляют собой (не обязательно связные) куски (л-1)-мерных гиперплоскостей, а множество вида (20.12) - декартово произведение их общей (как правило, (1 - 2)-мерной) границы на сегмент [О, 1], т.е. кусок некоторого (гг - 1)-мерного цилиндра.

20.5.Для множества ситуаций равновесия (Г) в игре Г из (20.1) мы имеем:

чп- П(20.13)

Точки этого пересечения в принципе можно последовательно перечислить, рассматривая каждое из 3" пересечений множеств вида (20.10) ~-



(20.12), взятых по одному для каждого / = I,. . . ,п. Разумеется, значительное число этих перечислений окажется пустыми.

В случае "общего вида" цилиндров, на которых расположены части (20.12) множеств /(Г), и их "общего расположения" относительно гиперплоскостей 5/ = 0 и = 1 число точек перечисления (20.13), очевидно, будет конечным.

§ 21. ДИАДИЧЕСКИЕ ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ

21.1.Каждая из диадических игр трех лиц описывается 3 • 2 = 24 параметрами. Как легко подсчитать, переход к классам аффинной эквивалентности уменьшит число параметров лишь на 6, так что полная классификация таких игр, подобная той, которая бьша выполнена для 2X2-биматричных игр, практически неосуществима. Однако исчерпываюпшй алгоритм решения любой такой игры может быть составлен.

21.2.Опишем множества ((Г) для диадической игры трех лиц. Для определенности мы рассмотрим случай / = 3, обозначив для краткости значения функции выигрыша Hi(Xi,X2,X2) этого игрока через Я .Неравенство (20.10), характеризующее в этом случае множество Xi , запишется так:

Яооо(1 - 5i)(l - Ь)+Яо1о(1 ~ Si)b +Я1оо51(1- 52)+Я11оЬЬ Яоо1(1 -Ь)(1 ~Ь)+Яо11(1-Ь)Ь +ioi5i(l-b) +

После естественных преобразований, без труда выполняемых в каждом конкретном случае, это неравенство приводится к виду

ЛЛ2 +5i +Q2 +0.(21.1)

Граница описываемого этим неравенством множества в случае АФО есть гипербола (быть может, вырождающаяся в пару пересекающихся прямых). Построение этой гиперболы на единичном квадрате плоскости (51,2) приводит к описанию множества ёз(Г) согласно (20.8)-(20.10) и к его геометрическому изображению.

Аналогично строится каждое из множеств i (Г) и йа (Г).

Нахождение пересечения /fl (Г) П 2 (Г) П 63 (Г) осуществляется вполне элементарными геометрическими (точнее говоря, - графоаналитическими) рассуждениями, но требует большой тщательности и осмотрительности ввиду разнообразия могущих встретиться случаев.

§ 22. ОХРАНА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

22.1. Каждое из трех предприятий (игроки 1, 2 и 3), пользующихся для технических целей водой из некоторого природного водоема, располагает двумя чистыми стратегиями: использовать очистные сооружения для отработанной воды (стратегия 0) или же сбрасывать ее в водоем без очистки (стратегия 1). Предполагается, что особенности водоема и технологических процессов на предприятиях таковы,что если неочищенную воду сбрасывает не более одного предприятия, вода в водоеме остается пригодной для использо-



вания, и предприятия убытка не несут. Если же неочищенную воду сбрасывают не менее двух предприятий, то каждый пользователь воды несет убытки в размере трех единиц. Стоимость использования очистных сооружений обходится каждому предприятию в одну единицу.

22.2. Изобразим куб ситуаций для описанной игры и укажем при его вершинах значения выигрышей игроков (рис. 3.8).

Соотношение (20.4) для игрока / = 3 принимает в данном случае вид - - Ь(1 - 2) - (1 - ?i)52 - 4(1 - 5i)(l - Ь)

Рис. 3.8

(22.1)

- 3 (1 - Ь) - 3(1 - 5052 - 3(1 - 5i )(1 -или, после очевидных упрощений,

(1 - 35,)(1 - 352)35,52.(22.2)

Множествах о, X? иХ1 изображены на рис. 3.9 (здесь множество Х состоит из двух дуг, принадлежащих двум ветвям гиперболы) .

22.3. В соответствии с (20.5) множество йз(Г) приемлемых для игрока 3 ситуаций имеет вид, изображенный на рис. 3.10. Оно состоит из криволинейного шестиугольника, лежащего в плоскости 5з = О (мы обозначим его через Шз), двух секторов в плоскости 5з = 1 (тот из них, который ближе к вершине куба (1, 1, 1), будет обозначен через Сз, а другой - через С з) и двух кусков гиперболического цилиндра с образующими, направленными вдоль оси 5з (тот кусок цилиндра, который ближе к оси 5 3, обозначим через Цз, а другой кусок - через Ц з ) •

Множества i (Г) и Z2 () имеют в соответствии с очевидными автоморфизмами игры Г такой же вид, отличаясь ориентацией образующих цилиндров соответственно вдоль осей 51 и 52 • Части этих множеств мы будем обозначать соответственно через Ш,, Ci, Cl, Ui, Ц1, и Ш2, С2, С,

Ц2,Ц2.

Рис. 3.10

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [ 64 ] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]