Доказательство. Из предыдущего следует, что любая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет ситуации равновесия хотя бы в своем первом метарасширений. Поэтому мы начнем с рассмотрения игры, имеющей ситуацию равновесия, и найдем нужную нам ситуацию в ее втором мет арасширении.

Рассмотрим игру Г = < х, у,Я1 , 2 >, у кото рой есть ситуация равновесия <x*, V*) ,и два ее последовательные метарасширения:

Л = <х, у"", Gi,G2 > ,

где при xGx и /Еу вьшолняется (16.1), и

Е = (х(у>,у\ F,,F2 >,

гдеприЕх и /Еу положено

Fi{g. Л = Gi{g, /),/)= Я,(я(/), f{g{f))\ /=1,2.

(Разумеется, то обстоятельство, что здесь первую метастратегию выбирает игрок 2, а вторую метастратегию - игрок I, является совершенно несушест-венным; можно бьшо бы здесь рассмотреть конструкцию, в которой первую метастратегию выбирает игрок 1, а вторую - игрок 2; все дальнейшие рассуждения отличались бы при этом лишь незначительными деталями).

Найдем в соответствии с теоремой п. 6.4 оптимальную по Парето ситуацию (х°, j°) в игре Г, для которой

Яl(xv*)<Яl(xЛ,.(19.5)

Н2{х\уПНг{х\/),(19.6)

и покажем, что искомой ситуацией в Е, одновременно равновесной и оптимальной по Парето, является ситуация (g°,f°) , для которой

f v° ,еслих==

/. о(19.7)

I у *, еслихФх ,

Cf)= ;(19.8)

I X*, еслк/Ф/ .

Действительно,

Fк/°)-G/(яV%/°)=GДx/°)=ядx/°(x°))=ядx/)

для/ =1,2.(19.9)

Это значит, что выигрыши игроков в "метаситуации" (g,f) те же, что и в ситуации (x°,v°). Поэтому одновременное увеличение выигрышей игроков (в смысле знака <) в метаситуации (g",/"") невозможно, и эта мета-ситуация оказывается оптимальной по Парето вЕ.

Докажем равновесность ситуации (°,/) вЕ.

При произвольном / ° мы имеем

/2(V) = G2(YX n-G2(xf)-H2(x\fix*)). (19.10)

Но ввиду равновесности ситуации (х*,у*) в Г и по (19.6) и (19.9) Я2(x/(x*))<Я2(xз;*)<Я2(x/) = F2(Я/°).

Вместе с (19.10) это дает нам

/(/)F.,(/%(19.11)

Возьмем теперьg Ф , Здесь мы будем различать два случая:

а)g(J)-x. В этом случае

лея./) -u(/°),/°)-(/°)- •

- И, (лЛ /V)) = и, {х\ у) = F, ($\Г\(19.12)

б)с?(/ )в этом случае

= H,((f°ir(s(f°))) = n,(s(f°ly*).(19.13)

Но опять-таки ввиду равновесности ситуации (х*, v*) в Г и по (19.5) и (19.9) должно быть

HWhyl i(a-,v*)< i(x/) = F,(/,/").

Вместе с (19.13) это дает нам при (f"") х""

Fi(gJ)F,(g\f)(19.14;

Соотношение (19.12) позволяет снять условие g(f)x. Неравенство (19.14) оказывается теперь справедливым для любых g (прия* оно превращается в точное равенство),

в итоге неравенства (19.11) и (19.14) дают нам требуемую равновесность. □

19.4*. Применим доказанную теорему к игре "два бандита" (см. § 17). в этой игре уже имеется ситуация равновесия (х*, v*), состоящая в выборе каждым из игроков своей первой стратегии. Оптимальная по Парето ситуация (х°,з°) удовлетворяющая по о тно шеьшю к ситуации равновесия условиям (19.5) и (19.6), состоит в выборе каждыхм из игроков своей второй стратегии.

Первая метастратегия игрока 2, определяемая согласно (19.7), состоит ввыборе им своей второй стратегии в ответ на вторую страхегию игрока 1 и первой стратегии в ответ на первую.*

Вторая метастратегия игрока 1, определяемая соотношениями (19.8), состоит в выборе им второй своей стратегии, если игрок 2 выберет ту же стратегию, что и 1, и в выборе им своей первой стратегии во всех остальных случаях.

Содержательно это можно представить себе так, что игрок 2 исходит из тезиса "око за око", а игрок 1 - из более изощренных соображений, которые можно расценить как эгоцентризм (" поддерживаю тех, кто действует так же, как я") и ксенофобию ("выступаю против всех тех, кто действует иначе, чем я").

§ 20. ДИАДИЧЕСКИЕ ИГРЫ

20.1.Упрощением, получающимся в случае, когда каждый игрок имеет лишь две чистые стратегии, можно воспользоваться не только в случае биматричных игр, но и при рассмотрении игр с любым конечным числом игроков.

Определение. Б ескоалиционная игра

Г = </Лх,}/./, {Я,},е/>(20.1)

называется дыадыческой, если каждый игрок в ней имеет две чистых стратегии: X/ = (1/, О/} для г G /. □

Далее в тех случаях, когда это не сможет привести к недоразумениям, мы будем стратегии 1,- и О,- игрока / обозначать просто через 1 и 0.

В диадической игре каждая смешанная стратегия X/ игрока i полностью описывается вероятностью 5/ выбора им своей первой чистой стратегии. Таким образом, множество Xf всех смешанных стратегий игрока можно представить как сегмент [О, 1], а множество всех ситуаций в смешанных стратегиях - как единичный -мерный куб. Ситуации в чистых стратегиях будут, очевидно, соответствовать вершинам куба.

20.2.Всякая вершина куба ситуаций в диадической игре может быть задана как п-чяентя последовательность единиц и нулей. Очевидно, для того, чтобы ее идентифицировать среди всех верпшн, достаточно указать множество всех игроков, выбирающих в этой ситуации свою первую стратегию.

Пусть X - произвольная ситуация в смешанных стратегиях в диадической игре Г из (20.1), а X - ситуация в чистых стратегиях в ней, причем множество игроков, выбирающих в х свою первую чистую стратегию, есть К{х) . Тогда, очевидно,

Х(х)= П 5;(1-5/)-(20.2)

20.3.Опишем множество /(Г) всех ситуаций, приемлемых в игре Г для данного lirpoKa z.

Возьмем для этого произвольно /ГС/\/и будем под (5/,А) понимать ситуацию, в которой игрок z выбирает такую смешанную стратегию X/, что .(1) =5/, игроки ш - свои первые чистые стратегии (5/ = = 1) , а остальные игроки - вторые чистые стратегии (5/ = 0). Положим

Х{К)Х{\,К)Х{Л) Vi. 5/, П.(1-5у).

/fc: Кf

Тогда, учитывая (20,2), мы получаем

,(Х) = 5/ 2:.яд1,/с0№) + (1 2ядо,/:о№).(20.3)

Условия приемлемости ситуации X для игрока / состоят в выполнении неравенств Я / (XII 5° ) Я/ (X) ддя 5/ = О и 5/ =1, учитывая (20.3),

S яд5,А0(/:0<

5/ S Я,(1 , К)Х{К) + (1 - 5/) 2 Я,(0, к)Х{К%(20.4)