назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [ 62 ] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


62

Вместе с тем очевидно, что в ситуации (О, 0) каждый игрок теряет лишь по единице. Однако ясно, что ситуация (О, 0) ,в которой каждый выбирает свою вторую чистую стратегию и потери обоих игроков минимальны, является весьма неустойчивой: каждый игрок, изменяя в ней произвольным образом свою стратегию, увеличивает свой выигрыш.

17.2. Множество 55 (Г) всех реализуемых векторов выигрышей для рассматриваемой игры имеет вид, изображенный на рис. 3.7. Очевидно, здесь ситуации с вьшгрышами (- 1, - 1), (- 10,0) и (О, - 10) являются оптимальными по Парето. При этом первая из них, в которой получаются

Рис. 3.6

Рис. 3.7

наибольшие выигрыши (-1,-1), для каждого из игроков лучше, чем равновесная.

Противоречие между осуществимостью ситуации, выражаемой в виде равновесности и ее выгодностью, которой соответствуют оптимальность по Парето, имеет по существу ту же природу, что и противоречие между максиминным и минимаксным вьшгрышами. Поэтому оно должно разрешаться при по МО иди анапогичных приемов, состоящих в расширении множеств уже имеющихся стратегий. Следующие два параграфа мы посвятим этому вопросу.

§ 18. МЕТАСТРАТЕГИИ И хМЕТАРАСШИРЕНИЯ

18.1. Смешанные стратегии определяются как случайные величины (см. § / гл. 1 и § 4 гл. 2), реализующиеся в виде чистых стратегий. Если говорить более аккуратно (т.е. именно так, как это принято в современной теории вероятностей), смешанная стратегия X игрока, имеющего множество чистых стратегий х,понимаемая как случайная величина, есть функция Х\ X. Здесь есть множество "элементарных событий", под которым, как правило, понимают сегмент [0,1] с обычной мерой Лебега на нем. При этом предполагается, что функциях обладает в достаточной степени свойством измеримости: для большинства всех.практически важных подмножеств (не будем уточнять, для каких именно) х множества х их Х-прообразы, т.е. подмножества состоящие из всех тех со, для которых X(cj) Е х, измеримы (по Лебегу). Между прочим, именно такое понятие смешанной стратегии является достаточно корректным и имеет широкое (хотя, разумеется, и не безграничное) применение.



в этом описании наше внимание сейчас привлекает еданственный пункт: функциональная природа смешанной стратегии. Чистыми стратегиями оказываются при этом те смешанные стратегии, которые, понимаемые как функции, яв]шются постоянными,

18.2.Идея "функциональности" распшрения понятия стратегии, при котором новые, обобщенные стратегии рассматриваются как функции, а исходные стратегии принимаются константами, оказывается весьма плодотворной в теории игр и не ограничивается введением смешанных (в вероятностном смысле) стратегий.

В качестве аргументов, от которых целесообразно рассматривать функции-стратегии, можно, как оказьюается, брать стратегии других игроков. Далее мы ограничимся случаем, когда каждый раз рассматриваются функции от стратегии только одного игрока.

18.3.Определение. В бескоалиционной игре

Г = </,{хЛ,-;,( ,},е/>П8.1)

всякая функция вида.х/х/ называется метастратегией игрока i (в ответ на стратегию игрока к) . □

Содержательно всякую метастратегию j можно понимать как способ выбора игроком / некоторой своей стратегии в зависимости от получаемой им информации о стратегии, выбираемой игроком к. Если рассматривать ситуацию в бескоалиционной игре как некоторое соглашение, некоторый договор между игроками, а обычную стратегию - как принимаемое на себя в этом договоре обязательство, то метастратегию можно понимать как своего рода условное обязательство: "в случае, если игрок к поступит так-то, я, игрок / , выбираю такую-то свою стратегию, а если этак-то, то такую-то".

Очевидно, множество всех метастратегий / в ответ на стратегию к можно изобразить в виде степени множеств х .

18.4.Определение. Бескоатшционная игра

с тем же множеством игроков / , что и игра Г из (17.1) , называется метаиг-рой над игрой Г, или мегарасишрением игры Г, если при некоторых j\ к G I

Xj для 1Ф j,

[доя / = /,

и дпя любой метастратегий v, У/ любого игрока /Е/ Gi(x \\yj)Hi{x WyXk))

(здесь, как обычно, есть стратегия игрока входящая в ситуацию х). □ 18.5. Очевидно, процесс образовашя метаигр (метарасширений игр) поддается неограниченному итерироваршю: от метаигры можно переходить к ее метаигре (назьшаемой второй метаигрой), от нее к следующей (к третьей метаигре) и г.д. В этом отношении мет а расширения игр отличаются большим разнообразием, чем смешанные расширения, которые, очевидно, исчерпываются своим первым шагом.



в метаиграх могут реализоваться более сильные принципы оптимальности, чем в исходных бескоалиционных играх, и, как оказьшается, даже более сильные, чем в смешанных расширениях.

§ 19. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ В МЕТАСТРАТЕГИЯХ

19.1.В качестве первого примера применения метастратегий рассмотрим существование ситуаций равновесия в конечных бескоалиционных играх. Для простоты формулировок и доказательств мы ограничимся случаем конечных игр двух лиц. Мы не будем назьшать сейчас эти игры биматричными, потому что матричная форма записи значений функций вьшгрыша в этих вопросах не играет роли.

19.2.Т е о р е м а. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своем {первом) метастратегическом расширении ситуации равновесия.

Доказательство. Рассмотрим игру двух лиц Г = < х, у, ь Я2 > и построим ее метарасишрение Л = < х, у, Gi, G2 >, где при любом /Е у (/ в этом случае есть функция из х в у)

=/-1,2.(19.1)

Поставим каждому х G х в соответствие такую стратегию Ух. что

Н2{х, Ух) = шахН2{х,у).

Соответствие хУх есть, очевидно, одна из функций / * G у . Таким образом, при любых х G X и G у должно быть

H2(xJ\x))>H2(x,y).(19.2)

Найдем, далее,такое G х, что

а,{х\Г)=Н,(х\Г(х*)) = тгх Н,(х,Г(х)),(19.3)

и покажем, что (х*, /*) есть ситуация равновесия в игре А.

Действительно, на основании (19.3) прилюбом xG х должно быть

СЛх\Г) >Н,{х,Г(х)) = Gy (X, /* ) .(19.4)

Кроме того, из (19.2) следует, что

G2(x\f)=H2(x\f(x*))

Н2{х\Г{хП) = С2{х\Г).

Вместе с (19.4) это и означает равновесность ситуации (х* ,/*). □

Разумеется, доказанная теорема не противоречит той возможности, что ситуацией равновесия может обладать уже сама исходная игра Г.

19.3*. Более принципиааьной оказывается возможность осуществить в метарасширении игры ситуацию, которая бьша бы одновременно как равновесной, так и оптимальной по Парето.

Теорема. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своем третьем метарасширении ситуацию, которая является одновременно ситуацией равновесия и оптимальной по Парето.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [ 62 ] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]