назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [ 61 ] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


61

-10 2

1 -1-

-1 1

рынок требует больших средств. Например, победа игрока 1 на первом рынке принесет ему вдвое больший выигрыш, чем на втором, но зато поражение на первом рынке полностью его разоряет (проигрыш равен 10), а игрока 2 избавляет от конкурента (вьшгрыш равен 5) .

Описанная биматричная игра может быть задана матрицами вьшгрышей

Для этой игры, как легко видеть, С = - 14, а = - 3, т?* =3/14. Значит, ситуациями, приемлемыми для игрока 1, будут все ситуации вида

(0,7?), где 3/14 7] <1,

(?,3/]4), где 0<1,

(1,7?), где О 7? 3/14.

Множество всех приемлемых для игрока 1 ситуаций изображено на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Далее мы имеем: Z) = 9,j3 = 2,5* = 2/9, так что приемлемыми для игрока 2 будут все ситуации вида

(5,0), где 0<?<2/9,

(2/9,7?), где 7? произвольно,

(5,1), где 2/951.

Их множество изображено на рис. 3.4 пунктиром.

Зигзаги приемлемых ситуаций пересекаются в единственной точке (2/9, 3/14), которая и оказьшается единственной ситуацией равновесия.

§ 16. "СЕМЕЙНЫЙ СПОР"

16.1. В П. 2.6 введения рассматривапась игра под названием "семейный спор". В этой 2 X 2-биматричной игре матрицами вьшгрышей игроков являются

1 0

2 0

.0 2 .

.0 1 .

Решение данной биматричной игры в соответствии со сказанным в § 13 дает нам С = 3, а = 2,7?* = 2/3. Поэтому ситуации, приемлемые для игрока 1, сос-



тавляют зигзаг, охватьгоающий следующие точки: (0,т?), где 0<г?<2/3, (5,2/3), где 5 произвольно, (1,т?), где 2/3т?1.

Аначогично, /)=3, /3 = 1,* = 1/3. Поэтому приемлемыми для игрока 2 будут ситуации

(5,0), где 051/3,

(1/3,77), где Г} произвольно,

(5,1), где 1/351.

Как видно из рис. 3.5, данная игра имеет три ситуации равновесия: (0,0), (1,0,(1/3,2/3).

Рис. 3.5

16.2. Здесь ситуации (0,0) и (1,1) соответствуют одновременному выбору игроками своих вторых или, соответственно, первых чистых стратегий, т.е. договоренности о достоверных совместных действиях. Обычно так и понимаются всякого рода договоры.

Однако в нащем случае имеется еще третья ситуация равновесия, состоящая в выборе игроками некоторых вполне определенных смешанных стратегий. Формально ее можно считать основой возможного договора в не меньшей степени, чем первые две. Она даже "более справедлива", чем они, поскольку в ней оба игрока получают одинаковые выигрыши:

(1/3,2/3)Л (2/3,1/3) = (1/3-, 2/3)В (-2/3, 1/3) = 2/3.

Вместе с тем вьшгрыши каждого из игроков в этой ситуации равновесия меньше, чем в двух других ситуациях равновесия, где они соответственно равны 1 и 2 в первой ситуации и 2 и 1 - во второй.

Так сочетание устойчивости со справедливостью вступает в противоречие с сочетанием устойчивости и выгодности.

Ясно, что если игроки договорились бы играть оба, скажем, первую чистую стратегию, причем игрок 2 за получение большего выигрыша, чем игрок 1, заплатил бы ему 1/2, то выигрыш каждым полутора единиц можно бьшо бы считать и выгодным, и справедливым. Однако в рамках теории бескоалиционных игр такого рода дележи не рассматриваются. Они изучаются в кооперативной теории игр, о которой будет говориться в гл. 4



16.3. Очевидно, проведенный анализ биматричной игры "семейный спор" с матрицами вьшгрыша А и В из (16.1) приложим и к более общим бимат-ричным играм, и в том числе к играм Г (Л, В) с матрицами вьшгрышей

а 0"

с 0

.0 Ь.

.0 d.

При этом,очевидно, в каждой такой игре будут три ситуации равновесия: две в чистых стратегиях, соответственно с вьшгрышами игроков а и с или b и d, и одна - в смешанных (5*, т?*), где * = d/(c + d), 77* = b/(a + b).

16.4. Отметим, однако, специально тот частный случай, когда А = В, т.е.а = с иЬ =d. Тогда в игре Г{А, В) интересы игроков полностью совпадают. Тем не менее теоретико-игровая природа этого явления сохраняется; в такой игре по-прежнему имеются три ситуации равновесия: две в чистых стратегиях и одна - в смешанных.

Ясно, что при а > Ъ оптимальная по Парето ситуация равновесия будет состоять из первых чистых стратегий игроков, а при а < Z? - из их вторых чистых стратегий. Тем самым для игр такого рода представляется естественным выбор игроками стратегий, уверенно дающих им наибольшие вьшгрьппи. Соответствующую ситуацию равновесия здесь можно уже рассматривать не только как устойчивый вариант договора между игроками, но даже как результат их независимых самостоятельных действий.

Менее тривиальным оказьюается положение дел, когда л = Ь. В этом случае игрок 1 при выборе им сввей первой чистой стратегии не может быть уверен в выборе игроком 2 также первой чистой стратегии: тот может с такими же основаниями выбрать и вторую стратегию. Таким образом, здесь из всех мотивов действия остается лишь упоминавшийся в п. 14.5 "антагонизм поведения", и разумным для игрока 1 оказьшается выбор им смешанной стратегии (для которой здесь = 1/2).

§ 17. "ДВА БАНДИТА"

17.1. В п. 2.5 введения бьша описана игра "два бандита", - 2 X 2-бимат-ричная игра с матрицами вьшгрышей игроков

- -8

, в =

. 0

в этой игре С=1,а = -1,17*=~1; поэтому ситуациями, приемлемыми для игрока 1, будут ситуации вида (1, т?) при произвольном i? G [0,1].

Аналогично мы получаем, что 5* = - 1, так что для игрока 2 приемлемыми ситуациями будут ситуации вида (5,1) при произвольном ?.

Для наглядности на рис. 3.6 изображены зигзаги, описьюаюшрие решения неравенств (14.2) ~ (14.5) и за пределами сегментов [0,1] - изменения вероятностей 5 и 77.

Единственной ситуацией равновесия в рассматриваемой игре оказьшается поэтому ситуация (1, 1), в которой каждый из игроков должен сознаться. В этой ситуации каждый из участников игры теряет 8.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [ 61 ] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]