назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [ 60 ] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


60

Именно, полагая, как и при анализе матричных игр, C = aii - 12 -21 + + йг22, Oi - агг ~ 21, мы получим, что при С 9 О множество i(r) всех приемлемых для игрока 1 ситуаций состоит из точек трех типов:

(1,г?), где г?Со:,

(О, г?), где г?Са,

а, г?), где г?С=а и [О, 1J.

При С = О и о: 9 О это множество будет иметь вид

(1, г?), если йг2 2 >12

(0,77), если йг22 <«12.

Наконец, при С = О и л = О будет i(r) = XX Y, т.е. приемлемыми для игрока 1 будут все ситуации.

14.4.Перейдем к описанию множества %2(А* jB) всех ситуаций, приемлемых в биматричной игре Г (Л, Б) для игрока 2.

Во-первых, это можно *сделать, продолжив проведенную в предыдущем пункте аналогию с матричными играми (см. п. 18.6 гл. 1), причем в неравенствах (18.14) вместо матрицы А следует рассматривать матрицу -В.

Во-вторых, это можно сделать, перейдя в рамках игры Г (Л, Б) от игрока 1 к игроку 2 и заменив в связи с этим матрицу Л в рассуждениях п. 14.3 и соответственно в неравенствах (14.2) и (14.3) на матрицу 5.

В обоих случаях мы получаем систему неравенств

XB.xXBY, .(14.4)

XB,2UXBY\(14.5)

В результате оказьшается, что 2 (А, В) = 2 (~ В) является, подобно 1 (А, В) - (А), трехзвенным (возможно, вырожденным) зигзагом или же множеством всех вообще ситуаций.

Именно, положим = bi 1 - 12 ~ 21 + 22, Р - Ь22 - 21. Тогда при ПФОмножество 2(Г) будет состоять из точек трех типов:

(?,1), где ?/)>/3,

(1,0), где

(,7?), где ?Z) = /3 и 7? €[0,1]. При D = 0 и 1Ф0 это множество будет иметь вид

(?, 1), если 22 >2 I , (5,0), если 2 2 <Ь21,

а при D=0Hi3 = 0- совпадать с множеством всех ситуаций ХХУ.

14.5.Естественно, что в случае биматричной игры Г для взаимного расположения множеств SiiT) и гСП может представиться существенно больше комбинаций, чем в случае матричной игры.

В частности, в отличие от случая матричной игры, зигзаги i(r) и 2(Г) могут быть не только одинаковой (ср. конец п. 18.6), но и противоположной ориентации (рис. 3.3, а и б) .В первом случае (Г) = i(r) П П 2(0 состоит из единственной точки, а во втором - из трех точек.



ордината ту* горизонтального звена зигзага в i(r), как и случае матричной игры (см. п. 18.5 из гл. 1) , описывается формулой

ац - ai2 - 2 1 +2 2

Выражение же для абсциссы вертикального звена зигзага в 2 (>4, В) получается из формулы (18.12) гл. 1 путем замены в ней каждого

Рис. 3.3

на соответствующее -~bfi (фактически знаки в дроби останутся без изменений) . Таким образом,

Z?2 2 - 2 1

Ьц - bi2 - b2l b

Сравнение этих выражений с формулами (18.12) и (18.18) из гл. 1 показывает, что в рассматриваемой биматричной игре в условиях ситуации равновесия во вполне смешанных стратегиях поведение игрока 2 совпадает с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей вьшгрышей А, а поведение игрока 1 - с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей В.

Таким образом, описанное равновесное поведение игроков оказьшается ориентированным не столько на максимизацию собственного выигрыша, сколько на минимизацию вьшгрыша противника. Так "антагонизм поведения" может возникать и при отсутствии "антагонизма интересов".

14.6. Обратим, наконец, внимание на следующее примечательное обстоятельство.

Пусть зигзаги приемлемых ситуаций для 2 X 2-биматричной игры Г (А, В) имеют вид, представленный на рис. 33 а или б (или же зеркальный по отношению к одной из этих картинок). Если теперь "слегка" изменить матрицы А и В, то и зигзаги "пошевелятся чуть-чуть", не изменив ни своей общей формы, ни взаимного расположения. В частности, их пересечение будет по-прежнему состоять из одной точки или из трех.

В этом месте мы встречаемся с весьма общей и глубокой теоретико-игровой закономерностью: если конечная бескоалиционная игра Г носит "обшрий" характер, т.е. форма и расположение множеств приемлемых ситуаций (Г) для каждого из игроков не изменяется при достаточно малом изменении значений функций вьшгрыша игроков, то множество (Г) ситуаций равновесия в этой игре (являющееся пересечением множеств /(Г)) конечно и насчитывает нечетное число точек.



1 0 "

a2i a22j

§ 15. ПОЧТИ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

15.1. Отдельные классы биматричных игр (и в том числе 2 X 2-игр) поддаются более простому и содержательному анализу, чем те общие рассмотрения, которые были изложены в предыдущем па{:»аграфе.

Одним из таких ютссов являются антагонистические игры, рассмотренные в гл. 1. Более общий класс составляют почти антагонистические игры.

Определение. Будем называть почт антагонистической игрой биматришую игру с матрицами выигрыша Л и В, идя которых из Д/у < a/i шш aij = afi следует соответственно bj > bji или bfj = bjj. □

В почти антагонистическую игру превращается всякая матричная игра, если в ней начать оценивать выигрыш игроков по различным (но монотонным!) шкалам полезности. В положении игрока 1 в почти антагонистической игре оказьшается, например, сторона, стремящаяся нанести ущерб противнику и правильно сравнивающая его ущерб в различных ситуациях, но дающая размеру этого ущерба, вообще говоря, неверную количественную оценку.

15.2*.Проведем анализ почти антагонистической 2 X 2-игры. Не нарушая общности (т.е. переходя, если нужно, к аффинно эквивалентным играм и отвлекаясь от некоторых случаев вырождения), мы можем считать, что матрицы вьшгрышей в рассматриваемой игре саь

] О

Ьгг Ь2 2

Если fif2 2 < 21, то по условию ПОЧТИ антагонистичности должно быть 2 2 > 21, и вторая чистая стратегия игрока 2 доминирует его первую чистую стратегию. Значит,все приемлемые для него ситуации имеют вид (5,0). Отсюда следует, что ситуациями равновесия в игре будут либо (1, 0) ,либо (О, 0) , либо все ситуации вида (5, 0), смотря по тому, будет ли 2 2 > О, а22 О или, наконец,22 =0.

Пусть теперь 2 2 21, так что по почти антагонистичности 22 21. Тогда для характеристик игры 5 * и ?? * мы имеем

22 - 21«22

I-- п-----.

-1-21+221 -21 +22

15.3. В качестве примера почти антагонистической игры приведем следую-шдй вариант борьбы за рынки.

Небольшая фирма (игрок 1) намерена сбыть крупную партию товара на одном из рынков, контролируемых другой, более крупной фирмой (игрок 2). Для этого она может предпринять на одном из рынков соответ-ствуюшде действия (например, развернуть рекламную кампаршю) . Господствующий на рынках игрок 2 может попыться воспрепятствовать этому, приняв на одном из рынков предупредительные меры. Игрок 1, не встретивший на рьшке препятствий, захватьшает его; встретившись же с сопротивлением - терпит поражение. Выборы фирмами рынков являются их стратегиями.

Предположим, что проникновение игрока 1 на первый рынок более выгодно для него, чем проникновение на второй, но борьба за первый

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [ 60 ] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]