назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


6

в получившейся игре ("метаигре") можно снова говорить о метастра-тегиях, которые по отношению к исходной игре будут уже "вторыми метастратегиями",ит.д. Оказывается (см. п. 19.3 гл. 3), что в бескоалиционных играх двух лиц в должным образом выбранной третьей метаигре существуют выгодные ситуации равновесия. В частности, в надлежащем втором метарасширении игры "два бандита" существует ситуация равновесия, в которой каждый из игроков несет единичные потери (см. п. 16.4 гл. 3).

4.9. Игра "семейный спор" из п. 2.5 имеет две ситуации равновесия: состоящую из первых стратегий игроков и из их вторых стратегий. Тем самым возникает проблема выбора одной из них.

Однако ни одна из этих двух ситуаций равновесия в чистых стратегиях не является справедливой: в одной из них больший выигрыш получает игрок 1, а в другой - игрок 2, Вместе с тем оба игрока входят в данную игру симметрично (если переменить имена игроков и названия их стратегий, то игра перейдет сама в себя) . Значит, рассматриваемая игра в смысле своих правил является справедливой, и естественно потребовать, чтобы оптимальный ее исход также был справедливым, т.е. чтобы оба игрока получали в нем одинаковые вьшгрыши. Правда, в смешанных стратегиях здесь удается найти еще и третью, справедливую ситуацию равновесия (см. п. 13.1 гл. 3), но она оказывается менее выгодной, чем каждая из указанных чистых стратегий. Тем самым возникает противоречие между выгохщостью и устойчивостью, с одной стороны, и справедливостью - с другой. Это противоречие может быть разрешено путем выбора одной из выгодных (и желательно - равновесных), хотя и несправедливых ситуаций с последующей компенсацией, которую оказьшшийся привилегированным в этой ситуации игрок выплачивает своему ущемленному партнеру. Развитие этой стороны вопроса приводит к построению так назьюаемой кооперативной теории бескоалиционных игр.

§ 5. КООПЕРАТИВНАЯ ТЕОРИЯ 5.1. Каждая бескоалиционная игра

Г = </, {х,},.,, {Я,),.р(5)

описывает некоторый, вообще говоря, достаточно сложный конфликт, не всегда поддающийся не только детальному изучению, но и даже точному описанию. Поэтому представляется естественным выбирать в этом конфликте отдельные его аспекты и подвергать их специальному анализу.

Быть может, самым простым будет при этом выделение некоторого множества игроков С /, называемого коалицией (бескоалиционность рассматриваемых игр в том и состоит, что никакие коалиции первоначально в правилах игры, т.е. в ее задании з виде (5.1), не предусмотрены), и рассмотрение антагонистической игры Т{К) коалиции К как единого игрока против ее "окружения" / в целом. При этом комбинации стратегий игроков из X (и из 1\К) составляют стратегии К (соответственно стратегии 1\.К),з. сумма выигрышей игроков из А - в ы и г р ы ш к о а л и ц и и А. Значение v(K) (см. п. 4.2) этой игры естественно понимать как силу коалиции К в обшей игре Г.



5.2.Соответствие Kv(K) для каждой коалиции КС1в условиях бескоалиционной игры Г из (5.1) называется Qt характеристической функцией и обозначается через Up.

Характеристическая функция Vy дает представление о возможностях коалиций и отдельных игроков в условиях игры Г даже без указания множества стратегий и функций вьшгрыша в ней.

Это напоминает написание уравнения химической реакции, которое уже дает важную информацию о происходящем процессе, оставляя "за кадром" его интимную сущность, представления о молекулах как пространственных конфигурациях атомов, судьбы передаваемых электронов, игру электромагнитных сил и т.д. Поэтому говорят даже о задании игр "в форме характеристической функции", противопоставляя его заданию игр "в нормальной форме", т.е. в виде (5.1), и в других формах, о которых в данной книге говориться не будет. Изучение характеристических функций игр и составляет содержание кооперативной теории игр.

5.3.В рамках такой кооперативной теории исходами игры будут некоторые распределения суммарного выигрыша, называемые дележами. Характеристическую функцию, рассматриваемую совместно с некоторым множеством дележей, принято называть кооперативной игрой. Для кооперативных игр конструируются соответствующие принципы оптимальности и рассматривается связанная с ними проблематика.

В некоторых из этих принципов оптимальности воплощаются представления об устойчивости, которые получаются перенесением на соЪтношения между дележами приведенных в пп. 3.4 и 3.5 вариантов описания максимума функции. Однако применительно к дележам эти варианты определения перестают быть эквивалентными и порождают различные принципы оптимальности.

5.4.Вводимые принципы оптимальности имеют некоторые недостатки (если вообще можно говорить о недостатках достаточно естественно возникающих объектов): они не всегда реализуемы, а в тех случаях, когда реализуемы, могут допускать целые множества реализаций, причем каждая реализация может состоять из .многих дележей. К тому же реализации этих принципов могут не удовлетворять условиям справедливости в том смысле, как она определялась выше.

Все сказанное заставляет искать новые принципы оптимальности. При этом плодотворным оказьюается следующий путь: не переносить на случай дележей те или иные формулировки для максимумов на числовых множествах, выясняя, ка1сими свойствами полученные принципы оптимальности будут обладать, а наоборот, фиксировать те свойства (в том числе -некоторые черты справедливости), которые желательно видеть у интересующих нас принципов оптимальности, и конструировать принцип, который этими свойствами заведомо будет обладать. Такой подход к вопросу по существу является аксиоматическим.

§ 6*. ПОСТАНОВКА ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИГР

6.1. Принципиальная возможность применять теоретико-игровые методы к решению реальных задач возникает всякий раз, когда мы наблюдаем явление с множественными интересами его участников. Как отмечалось 2*19



в п. 1.2, таким оказывается практически любое общественное, сощтально-экономическое явление.

Однако констатация такого простого и едва ли не бесспорного факта еще не означает фактической возможности использовать теоретико-игровые методы для решения практических задач. На самом деле указание на возможность описания некоторых явлений в виде бескоалиционных игр означает всего лишь соотнесение обширному классу явлений объективной действительности некоторого (также весьма обширного) класса математических моделей. Переход к уточнению этого соотнесения, к установлению соответствия между более конкретными содержательными явлениями, с одной стороны, и их конкретными математическими моделями - с другой, оказьшается достаточно сложным.

На недооценке трудностей этого процесса и было основано распространившееся вскоре после создания основ математического аппарата теории игр представление об уже сложившейся возможности сформулировать в математическом виде, на теоретико-игровом языке любую (или почти любую) социально-экономическую задачу. Дело, как казалось, оставалось за немногим: усовершенствовать математическую или хотя бы вычислительную технику.

6.2.Фактически речь здесь должна идти о нескольких различных аспектах математического обеспечения экономических и социально-экономических задач.

Саму идею использования теоретико-игровой конструкции для описания той или иной группы социально-экономических явлений следует отнести к концептуальному аспекту математического обеспечения, которое состоит в формировании исходной системы базовых понятий и установлении в нем такой иерархической упорядоченности и логической структуры, которая поддавалась бы представлению в математическом виде.

В случае теории игр такими базовыми понятиями являются, во-первьгх, понятия игрока (стороны в конфликте), стратегии (способа его действий) и выигрыша (оценки складывающейся ситуации), объединяемые в единое понятие игры, как это описьюается, например, в п. 1.3, а, во-вторых, понятия оптимальности, как формального представления некоторого синтеза содержательнььх понятий выгодности, устойчивости и справедливости. Различные варианты понятий игры и оптимальности порождают разхшчные разделы теории игр и различные подходы к их изучению. Формально они выделяются из общей теории игр "структурными" признаками, которые формулируются в абстрактных: математических терминах. К таким признакам относятся те или иные "структурные" свойства множеств стратегий игроков. Например, представляет интерес говорить о топологических (в том числе - компактных), линейных (и в том числе евклидовых данной размерности) или измеримых пространствах стратегий. К структурным свойствам игры можно отнести также конечность множеств стратегий игроков. Структурным же свойством игры можно считать такое свойство функций выигрыша, как их непрерывность (или полунепрерывность).

6.3.Первым шагом в направлении учета соответствия приятия игры более конкретным классам явлений может служить построение теоретико-игровых моделей. Под ними понимаются такие классы игр, которые,как и их компоненты, допускают некоторые единообразные содержательные

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]