§ 13. РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР

13.1.Анализ 2 X 2-матричных игр в §17 гл. 1 проводился путем составления точного описания множеств ситуаций, приемлемых для каждого из игрок:ов (это описание проводилось на геометрическом языке, но, очевидно, могло бы быть представлено и в чисто алгебраическом виде), и нахождения пересечения этих двух множеств. В принципе этот способ описания ситуаций равновесия мог бы быть применен и к матричным играм произвольного формата. Однако он пока еще не нашел достаточно наглядных средств выражения, которые сделали бы его конкурентоспособным среди других методов анализа матричных игр.

Вместе с тем, как мы сейчас увидим, применение описанного способа к анализу биматричных игр и даже к нахождению их решений, правда, весьма неэффективному, представляется вполне целесообразным.

13.2.Пусть Г ~ Г {А, В) -тХ /-биматричная игра с матрицами выигрышей игроков

(13.1)

Множество 1 (Г) всех ситуаций, приемлемых для игрока 1 в этой игре, состоит из всех ситуаций (X, У), для которых вьшолняется система неравенств

Af. Y< XAY, /= l,...,m.(13.2)

Взяв в качестве образчика рассуждения из § 17 гл. 1, будем рассматривать случаи, соответствующие тому или иному спектру стратегии X.

13,3. Пусть supp X - sx С X. Тогда в (13.2) щш i G s; по свойству дополняющей нежесткости (см. п. 10.1) должно выполняться точное равенство. Отсюда следует, что для любых двух смешанных стратегий Х и Х\ обладающих одним и тем же спектром и дающих в паре с одной и той же стратегией Y приемлемые ситуации {Х\ Y.) и (Х", Г.), должно быть XAY XAY.

Таким образом, на множестве Х(5;) всех стратегий игрока 1 со спектром Sx величина ХА не зависит от X

Этот фак1 является для дальнейшего решающим.

Во-первых, из него следует, что вместе с любой приемлемой для игрока 1 ситуацией (X, Y) таковой же является любая ситуация (Х, F), где х V ситуации входят (или не входят) в Й* i (Г) целыми "блоками" вида (X(s), Y).

Во-вторых, отсюда же следует, что на X(sx) выражение XAY представляет собой единую линейную форму от F, и на X(s;) система (13.2) оказывается системой именно линейных (а не билинейных!) неравенств, и множество ее решений составляет вьшуклый многогранник, который зависит опять-таки не от конкретной стратегии X, и лишь от ее спектра sy - ь. Обозначим этот многогранник через (s).

12.Н.Н. Воробьев177

Попутно обратим внимание на то, что каждый из таких многогранников %х (s) зависит только от матрицы А (и не зависит от матрицы В ).

Значит, ситуации входят (или не входят) в i(r) целыми произведениями X(s) X (s). Иными словами,

%)= и X(s)Xi(s).

S с X

Очевидно, число произведений в этом объединении не может превосходить 1 - \ (s может быть любым непустым подмножеством х), а множество 1 (Г) зависит только от матрицы А. В силу тех же причин

S2(r)= и Y(t)X2(t),

t с у

где Y(t) - множество стратегий игрока 2, имеющих данный спектр t, а "2(1) - множество решений X системы неравенств

XBjuXBY, /=!,...,«,(13.3)

где supp F = t (как и выше, решение зависит здесь не от самой стратегии у, а лишь от ее спектра). Здесь в объединение входит не более 2" - 1 произведений. Множество "гг (Г) определяется только матрицей В. Окончательно мы получаем

?(Г) = ?1(Г)П(2(Г) =

= и X(s)X.«(s)n и 2(t)XY(t) = S с Xt с у

= и (X(s)X i(s))n2(t))X(Y(t) = s с X tC у

= и (X(s)n2(t))X(Y(t)ni(s)).(13.4)

sex t с у

13.4.При любом S С X нахождение многогранника lia) состоит в решении системы линейных неравенств, т.е. в выполнении конечного числа рациональных (арифметических) операций над элементами матрицы А. Точно так же выполнением конечного числа рациональных операций над элементами матрицы В может быть найдено множество 2*(t ) прилюбом tCy.

Следовательно, таким же конечно-рационапьным путем находится каждое из пересечений X(s)n 2 (t)HY(t)n i(s), и потому, в силу отмеченной конечности множества вариантов для спектров s и t и согласно формуле (13.4), - и все множество (Г),

13.5.Хотя при сколько-шбудь больших значениях чисел m и « описанная процедура нахождения приемлемых (а по ним - и равновесных) ситуаций в биматричной игре является весьма громоздкой, при т=п = 2 для спектров стратегий каждого игрока оказьшается не более трех вариантов, и приве-денйый способ представляется реально выполнимым геометрически. Мы займемся им в следующем параграфе.

§ 14. 2 X 2-БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

14.1.Описьюаемая далее схема анализа 2 X 2-биматричных игр формально является частным случаем рассуждений предыдушего параграфа, и множество всех ситуаций равновесия в такой игре можно описать на основании формулы (12.4). Однако, как это нередко бьшает, в частном случае 2 X 2-биматричных игр представляется целесообразным не пользоваться окончательной формулой,* вьшеденной для общего случая, а проводить каждый раз все приведшие к ней рассуждения применительно к конкретной рассматриваемой игре.

Фактически анализ 2 X 2-биматричных игр будет проводиться ио той же схеме, что и описанный в § 17 гл. 1 анализ 2 X 2»матричных игр. Как мы увидим, несмотря на существенно большее разнообразие вариантов (вместо четырех параметров в матриадом случае здесь их оказывается восемь!), анализ не станет от этого практически rai более сложным, ни даже более громоздким.

14.2.Мы будем рассматривать 2 X 2-биматричную игру с матрицами вьшгрышей

Ьц bi2

Г11 12

а2 1 а2 2

(14.1)

соответственно игроков 1 и 2. Как и в случае 2 X 2-матричных игр, Схмешан-ные стратегии X и Y игроков полностью описьшаются вероятностями J и ?7 выбора ими своих первых чистых стратегий (вторые чистые стратегии выбираются, очевидно, с вероятностями 1 - и 1 - т?). Поэтому ввиду OS L T?S 1 каждая ситуация в смешашшх стратегиях в 2Х 2-биматричной игре геометрически представляется как точка на единичном квадрате (ситуации в чистых стратегиях суть верпшны этого квадрата) .

Как и в случае матричных игр, мы опишем порознь множества приемлемых ситуаций для каждого из игроков, изобразим эти множества геометрически на единичном квадрате ситуаций, а затем найдем их пересечение.

14.3. Начнем с описания ситуаций, приемлемых в игре Г (А, В) для игрока 1.

Приемлемость ситуации (X, Y) для игрока 1 в игре Г (А, В) означает, что Ai .YXAY,(14.2)

A2.YSXAY.(14.3)

Подчеркнем, что эти условия приемлемости никак не связаны с матрицей В вьшгрышей игрока 2. Поэтому они будут одинаковыми для всех биматричных игр с одной и той же матрицей выигрышей игрока 1; в частности, они совпадают с анапогичными условиями для случая матричной игры . Поэтому и множество ситуаций, приемлемых для игрока 1 в игре Г (Л, В), будет совпадать с множеством приемлемых для него ситуаций в игре .

Как бьшо установлено в пп. 18.3 - 18.5 гл. I, множество i(r) всех приемлемых для игрока 1 ситуаций в игре (а тем самым и в игре Г {А, В)) есть либо трехзвенный (возможно, вырожденный) зигзаг, либо же квадрат всех ситуаций.

12*179