назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [ 56 ] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


56

§ 7. СМЕШАННЫЕ РАСШИРЕНИЯ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГР

7.1 Начиная с этого места мы будем рассматривать только конечные бескоалиционные игры, т.е. игры, в которых каждый игрок имеет конечное множество стратегий. Переход от теории конечных бескоалиционных игр к теории бесконечных бескоалиционных игр напоминает переход от теории матричных игр (гл. 1) к теории бесконечных антагонистических игр (гл. 2), но является более громоздким. На этом пути довольно естест-. венно получаются доказательства теорем существования ситуаций равновесия для бесконечных бескоалиционных игр, но нахождение ситуаций равновесия в таких играх удается ввиду технических трудностей лишь в отдельных, узких и пока еще немного численных случаях.

7.2.Уже рассмотрение антагонистических игр показывает, что большое число таких игр, и в том числе конечных, матричных игр имеет ситуации равновесия не в исходных, чистых стратегиях, а лишь в обобщенных, смешанных стратегиях. Поэтому и для общих, неантагонистических бескоалиционных игр естественно искать ситуации равновесия именно в смешанных стратегиях.

Введем с этой целью понятие смешанного расширения бескоалиционной игры. Пусть

Г= </Лх,}/е/, (Я,>,е/ >(7.1)

- произвольная конечная бескоалиционная игра. Для определенности примем, что игрок / в игре из (7.1) имеет т/ стратегий. Набор чисел (/1,. .., т) иногда называется размерами или форматом игры.

Пусть Xf - произвольная смешанная стратегия игрока /, т.е. некоторое вероятностное распределение на множестве чистых стратегий х/. Вероятность, которую распределение Xi приписывает конкретной чистой стратегии Л/, будем обозначать через Х (х). Множество чистых стратегий игрока /, для которых Xi (Xi) > О, называется спектром смешанной стратегии Х{ (ср. п. 8.5 гл. 1) и обозначается через suppZ/.

Множество всех смешанных стратегий игрока / Е / будем обозначать через X/.

Как и в случае антагонистической игры, смешанные стратегии игрока / можно понимать как задаваемые своими барицентрическими координатами точки (nii -1)-мерного симплекса. Заметим, что этот симплекс является компактом.

7.3.Пусть каждый из игроков / G/ применяет свою1 смешанную стратегию Xi, т.е. выбирает свои чистые стратегии Xf с вероятностями Z/(x,-). Пусть, кроме того, смешанные стратегии всех игроков 1,. . ., как вероятностные распределения независимы в совокупности, т.е. вероятность появления каждой из; ситуаций х= (Xi, . . . ,х) есть произведение вероятностей выборов составляющих ее стратегий Ai (Xi),..., Х„(л:„).

Таким образом, мы приходим к вероятностному распределению X на множестве всех ситуаций х, задаваемому соотношениями

Х(х) = Х(х,, . . . ,х„)Х, (хО X , . . Х„ Х(х„)

для всех ситуаций в игре Г. Такого рода вероятностные распределениях



называются ситуациями игры Г в смешанных стратегиях. Множество всех ситуаций Г в смешанных стратегиях обозначается через X.

7.4.Ситуация игры Г в смешанных стратегиях реализует различные ситуации с некоторыми вероятностями. Поэтому значение функции выигрыша каждого из игроков оказывается случайной величиной. В качестве значения функции выигрыша на ситуации в смешанных стратегиях в теории игр принимается математическое ожидание этой случайной величины:

ЯДХ)= Z Hi(x)X(x)

= 2 ... Е Я,.(Х1,...,Х„)Х,(Х1)Х ... XZ„W.(7.2)

xXx,jXn

Заметим попутно, что HiiXjWxf)

= Z ... SS ... S H,.{x\\xf) П Xj,(xj,).

(7.3)

Пусть Xj - произвольная смешанная стратегия игрока/ в игре Г. Умножив неравенство (7.3) на Xj{x) и просуммировав по всем х? G х?, мы

получаем ввиду (7.2)

2 ЯДХ IIxj)Xixj) = Я,(Х IIХ?).(7.4)

x/GXy

7.5.Определение. Игра

Г-</,{Х,}(Я,},е/ >,(7.5)

в которой множество игроков есть /, множество стратегий каждого игрока / есть X/, а функция выигрыша определяется равенством (7.2), называется смешанным расширением игры Г из (7.4). □

7.6.В бескоалиционных играх возможен такой же переход к смешанным стратегиям, как и отмеченный в п. 9.3 гл. 1 и в п. 4.5 гл. 2 для антагонистических игр. Именно, если для любой чистой стратегии х игрока / имеет место Hj {Xi II Xl) <д, то и для любой его смешанной стратегии Х\ вьшолняется Я/ {Xf WXi) -а. Особенно ясно это видно, если обратить внимание на формулу (7.4).

Справедливость этого вытекает из равенств (7.2) и (7.3) с помощью стандартного перехода к смешанным стратегиям.

7.7.Далее нам понадобится следующее утверждение.

Лемма. Какова бы ни была ситуация в смешанных стратегиях Х= = (Zi,. .. ,Хп), любой игрок i имеет такую чистую стратегию х% что одновременно выполняются два неравенства:

Х,(х?)>0, Я,(Х11х9)<Я,(Х).(7.6)

Доказательство. Предположим, что для всех чистых стратегий Xl игрока /, для которых вьшолняется (7.6), имеет место неравенство Hi {Xl Xl) >Hi {X). Тогда для всех таких стратегий

Hi{X IIXi)Xi{xi)>Hi{X)Xi{xi).{1,1)



Полученное неравенство имеет место для всех тех х-, для которых (Xj) > > 0. Для всех остальных Х/, очевидно, будет

Hi(X II= Hi(X)Xiixi) = 0.(7.8)

Складывая все неравенства (7.7) и все неравенства (7.8), мы осуществим суммирование по всем чистым стратегиям Xf игрока i и получим

2 BiiX\\x,)Xiix,)> S Я,(Х)Х,(хД

x/Gx/xiXj

ИЛИ, используя (7.2) и (7.3), Я/ (X) >Hi {X), чего не может быть.

Полученное противоречие указывает на существование нужной нам чистой стратегии игрока /. □

7.8.На смешанные расширения распространяются отношения аффинной эквивалентности и изоморфности бескоалиционных игр.

Теорема. Если бескоалициональные игры аффинно эквивалентны, то их смешанные расширения также аффинно эквивалентны.

Распространение на случай бескоалиционных игр доказательства теоремы п. 9.7 гл. 1 предоставляется читателю. □

7.9.Продолжение изоморфизма Г->7гГна смешанное расширение Г игры Г состоит в следующем.

Пусть / - игрок в игре Г, а X/-его смешаннаястратегия. Тогда тг-обра-30м Xi будем считать смешанную стратегию тгХ/ игрока тг/, для которой

{nXi){TTXi) = Xi{Xi) для любой стратегии Х/ Е х/. .(7.9)

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если тг - изоморфизм игр Т иТ, то его продолжение на смешанное расширение Г игры Г является изоморфизмом игры Г на смешанное расширение игры Г.

До каз ат ел ьство о чевидно. □

§ 8. СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ

8.1.Примем следующее терминологическое соглашение. Определ ение. Приемлемые ситуации и ситуации равновесия в

смешанном расширении Г из (7.4) бескоалиционной игры Г из (7.1) назьюаются приемлемыми ситуациями и соответстъето ситуациями равновесия исходной игры Г в смешанных стратегиях. □

Таким образом, ситуация X* является ситуацией равновесия в смешанных стратегиях в игре Г, если для любого игрока / и любой его смешанной стратегии X/ имеет место неравенство

ЯДХ* \\Xi)<Hi(X).(8.1)

Как и в случае антагонистических игр, вместо смешанных стратегий игроков часто говорят просто об их стратегиях, оговаривая, напротив, чистоту появляющихся стратегий во всех тех случаях, когда это необходимо. Это соглашение распространяется также на ситуации в смешанных стратегиях и, в частности, на ситуации равновесия в смешанных стратегиях.

8.2.Весьма полезной является следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы ситуация X* в игре Г была ситуацией равновесия этой игры (в смешанных стратегиях), необходимо и достаточно,

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [ 56 ] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]