Теорема. Пусть снова Т из (1.1) и Тиз (1.2) - две бескоалиционные игры. Тогда

если Т < Г,го

ei{T;)=% ,(г), /Е/,

если Г = 7г Г, где тг - изоморфизм из (2.4), то

7г/(Г) = 7Г g.rr), /G/,(5.1)

Го{Т) = г( То (Г).(5.2)

Доказательство получается незначительной модификацией доказательства теоремы п. 5.3 гл. 1. □

5.2.Обратим внимание на смысл равенства (5.1). Оно означает, что при изоморфизме 7Г образцы приемлемых для игрока / в игре Г ситуаций должны быть приемлемыми в игре тгГ для игрока тг/. То же справедливо и для ситуаций равновесия.

5.3.В случае, если Г = Г, вторая часть теоремы п. 5.1 приобретает вид если п - автоморфизм игры Г, то т t {Т) = (Г) и тт (1") =

= ?(Г).

Содержательно, это утверждение означает, что если игроки входят симметрично в условия игры, то они входят симметрично и в совокупность оптимальных решений игры. Говоря точнее, в условиях автоморфизма тг игры Г положение игрока i в ситуации х, в том или ином смысле оптимальной точно такое же, что и положение игрока ттг в ситуации ях, которая оптимальна равно в такой же мере, что и ситуация х. В этом проявляется справедливость рассматриваемого принципа оптимальности; в этом же проявляется и ограниченность этой справедливости, ибо допускаются различные положения игроков в одной и той же оптимальной (и тем самым неулучшаемой) ситуации.

5.4.Как ц для антагонистических игр, в общем случае бескоалиционных игр имеет место теорема о независимости от посторонних альтернатив.

Теорема. Если игра Г из (1.2) является х-подыгрой игры Т из (1.1),

хП /(Г)С,.(Г) для i е I ,(5.3)

X П(Г)С (Г).(5.4)

Доказательство проводится по той же схеме, что и для теоремы 5.1 гл. 1. Если хП Wi(r) =ф, то (5.3) тривиально. Пусть *G хП . (Г). Это значит, что

Я/0*11х)<Я(>*) для любого XfGXi,(5.5)

Тем более это верно для любого Х/ G х,-. Но в этом случае j * IIХ/ Gy, ив (5.5) можно Я/ заменить на Я.: Я(у*11х) <Я/(у*) для любого х,- G GxJ, а это и означаетG(r).

Переход от (5.3) к (5.4) очевиден. □

§ 6. СИТУАЦИИ, ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО ПАРЕТО

6.1.Как уже отмечалось, формальное понятие оптимальности призвано отражать различные варианты содержательных представлений об устойчивости, выгодаости и справедчивости. Можно считать, что устойчивость ситуации проявляется в ее равновесности.

Другой вариант устойчивости ситуации, в большей степени, чем равновесность, отражающий черты ее выгодности, состоит в ее оптимальности по Парето.

Далее нам придется сравнить между собой ситуации по выигрышам, которые получают в них различные игроки. Для этого введем обозначение

Hj{x)(H,{xl... MrAx)h и будем, как обычно, полагать

Я/(х; < Я/ (у), если Я, (х) < Я {х) при всех i G /;

Hi(x)<Hj(y). если Hi{x)<.Hi{x) при всех г G / , нoЯДx)ЯЯv);

Hj(x)<Hj(yX если ЯДх)<Я,(л:) при всех / G /.

Определение. Ситуация х в бескоалиционной игре

Г-</, {х,} ij. {Hi}it >(6.1)

называется оптимальной по Парето, если не существует ситуации xGx, для которой имеет место векторное неравенство Hi(x) < Я (х) .

Множество всех ситуаций в игре Г, оптимальных по Парето, обозначается через (Г). □

Иными словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш кого-либо из них, не уменьшив при этом выигрыш кого-либо другого.

Подчеркнем формальное различие ситуапии равновесия от ситуации, оптимальной по Парето: в первой ни один игрок, действуя в одиночку, не может увеличить своего собственного вьшгрыша; во второй - все игроки, действуя совместно, не могут (даже нестрого) увеличить выигрыш каждого.

6.2.Вопросы об оптимальных по Парето ситуациях решаются в принципе проще, чем аналогичные вопросы о ситуациях равновесия. Это объясняется тем, что оптимальность по Парето ситуации X определяется лишь положением векторного значения Я/(х) в множестве всех допустимых векторов выигрышей

93(Г)= {Hfix): XGx},

а для выяснения вопроса о равновесности ситуации требуется учитывать еще и зависимость каждой из компонент Я/(х) этого вектора от соответствующей переменной X/. Практически любое достаточно обозримое опи-Рис. 3,1сание множества векторов выигрышей ?В при-

водит к описанию векторов выигрышей в оптимальных по Парето ситуациях.

Так, в изображенном на рис. 3.1 примере оптимальным по Парето ситуациям будут соответствовать все точки 55 (Г) , принадлежащие выделенными жирными линиями участкам "северо-восточной" границы Ш(Г) .

В частности, для существования в игре» Г оптимальной по Парето ситуации достаточно компактности множества 3?(Г). Для этого же, в свою очередь, достаточно, чтобы множество всех ситуаций х бьшо компактным в некоторой топологии, а все функции выигрыша Я/ в этой топологии были непрерывными.

Разумеется, фактическое нахождение оптимальных по Йарето ситуаций может представлять существенные технические и в том числе вычислительные трудности, но мы здесь не будем останавливаться на этих вопросах.

6.3.Нетрудно проверить, что оптимальность по Парето обладает описанными в пп. 3.3 и 3.4 свойствами инвариантности, которые присущи и равновесию.

Теорема. Аффинно эквивалентные игры имеют одни и те же оптимальные по Парето ситуации.

Теорема. Если тг - изоморфизм игры Г на игру Г \ то

Теорема. Для оптимальности по Парето справедливо свойство независимости от посторонних альтернатив: если Т есть х-подыгра игры Г, то

хП (Г)С(Г).

Доказательство этих утверждений мы предоставляем читателю. □

6.4.Докажем в заключение, что совокупность всех ситуаций, оптимальных по Парето, обладает естественными свойствами внутренней и внешней устойчивости.

Теорема. Каковы бы ни были оптимальные по Парето ситуации х и у, не может быть Hj{x) <Я/(у) (внутренняя устойчивость).

Если множество S5 (Г) компактно, а функции выигрыша Hf непрерывны, то какова бы ни была ситуация хф S (Г), найдется ситуация giS (Г), для которой Hj(x) <Hj(y) (внешняя устойчивость) .

Доказательство. Свойство внутренней устойчивости вытекает непосредственно из определения оптимальности по Парето.

Для доказательства внешней устойчивости зафиксируем в игре Г ситуацию X и рассмотрим множество

2?ЛГ)-(ЯК-) + Н")П Ш (Г)

(на рис. 3.1 заштриховано). Вместе с 95 (Г) это множество должно быть компактом. Поэтому среди его точек найдутся такие, для которьис сумма

Z Н,(х)(6.2)

принимает свое максимальное значение на 93 .х:(Г)- Каждая такая точка соответствует оптимальной по Парето ситуации в игре Г.

Заметим, что в ходе доказательства этой теоремы вместо суммы (6.2) можно бьшо бы взять любую линейную форму выигрышей Я,- (х) с положительными коэффиш1ентами.