назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54 ] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


54

2.3.Теорема. Всякая бескоалиционная игра с постоянной суммой аффинно эквивалентно (и даже однородно аффинно эквивалентна) некоторой игре с нулевой суммой.

Доказательство. Пусть Г из (2.1) является игрой с постоянной суммой, в каждой ситуации которой сумма выигрышей всех игроков равна с. Возьмем произвольные Г/,/ G/, для которых 2 с/ =г. Полагая

в (2.3) ki = l,ai = -Cf, мы приходим к игре с нулевой суммой. □

2.4.Определение. Игры Г из (2.1) и Г из (2.2) называются изоморфными, если сушествует такая система отображений

7г-<7г/,{7гл, у>,(2.4)

что :

7Г/:/ ~>/есть однооднозначное соответствие, при котором игроку / в игре Г ставится в соответствие игрок тг = тг/ в игре Г;

TTiWf ->х/ есть однооднозначное отображение х на х/ (что вполне естественно: если игроку / ставится в соответствие в игре Гигрок тг/, то стратегиям / должны ставиться в соответствие стратегии игрока тг/). При этом для любой ситуации х = (.v,, . . . , х) мы полагаем

7ГХ = (ТГ,А,.....ТГ„Л,,).

Наконец, /(тгх) =Я/(х) для любой ситуации xGx и любого игрока / G /.

Очевидно, в случае, когда игры Г и Г являются антагонистическими, сформулированное определение совпадает с определением из п. 1.5 гл. 1 изоморфизма антагонистических игр (при отображении тг/ игрок 1 в игре Г переводится в игрока 1 в игре Га игрок 2 - в игрока 2) или их зеркального изоморфизма (игрок 1 в игре Г переводится в игрока 2 в игре Г а игрок 2 - в игрока 1).

Если игры Г и Гсовпадают, то изоморфизм игр Г и Г называется автоморфизмом игры Г. □

Заметим ддя дальнейшего, что в условиях автоморфизма тг игры Г игроки / и тг/ имеют одно и то же число стратегий (или, говоря более общо, множества стратегий одинаковой мощности).

2.5.Т е о р е м а. Изоморфность игр обладает свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности.

Для доказательства достаточно повторить сказанное по поводу теоремы п. 1.6 из гл. 1.

2.6.Определение. Бескоалиционная игра Г из (1.2) называется подыгрой бескоалиционной игры Г из (1.1), если xj- Сх/ для всех / G/, а каждая из функций Я/ является сужением соответствующей фуькции Hi нах= П х; Сх. □

Очевидно, это определение охватывает определение подыгры для антагонистических игр. из п. 1.5 гл. 1.



§ 3. ОПТИМАЛЬНОСТЬ в БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГРАХ

Как и в случае антагонистаческих игр (см. п. 2Л гл. 1), целью теории бескоалиционных игр является выработка принципов оптимальности (условий, которым должны удовлетворять стратегии или ситуации для того, чтобы считаться разумными, оптимальными, т.е. теми, которые мы уже привыкли считать присущими решениям игр), а также установление соответствий между свойствами игр и свойствами их решений.

Под оптимальностью мы будем понимать различные варианты формализованных описаний содержательных представлений о выгодности, устойчивости и справедливости. Для класса антагонистических игр наиболее естественным принципом оптимальности оказался принцип максимина: он приводит к седловым точкам в игре, которые для каждого игрока являются приемлемыми, т.е. выгодными и устойчивыми ситуациями.

Заметим, что в антагонистических играх, которые являются играми с постоянной (а именно - с нулевой) суммой, даже не может возникать вопроса об одновременном увеличении вьшгрышей всех игроков или хотя бы об увеличении их суммарного выигрыша.

Напротив, в общих бескоалиционных играх такие возможности могут появляться, и х:итуации, приемлемые (т.е. выгодные и потому устойчивые) для каждого из игроков, могут априори оказываться в том или ином смысле невыгодными (и потому неустойчивыми) для групп игроков и тем более для всех игроков сразу. В данной главе мы будем заниматься всем этим кругом вопросов.

Особые возможности открываются при последовательном применении принципа максимина не только отдельными игроками, но и любыми их коалициями. Исследование этих возможностей составляет предмет кооперативной теории бескоалиционных игр, о которой будет идти речь в гл. 4.

§ 4. ПРИЕМЛЕМЫЕ СИТУАЦИИ И СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ

4.1. Как и в антагонистических играх, ситуацию х в игре (1.1) естественно считать приемлемой для игрока /, если этот игрок, изменяя в ситуации X свою стратегию на какую-либо другую, не может увеличить своего вьшгрыша.

Для описания сказанного в более формальном виде введем одно полезное обозначение.

Пусть х= (Xj,. .. , X/„ 1,1, ... ,x,j) - произвольная ситуация в

игре Г, а xl ~ некоторая стратегия игрока /. Составим новую ситуацию, которая будет отличаться от ситуации х только тем, что стратегия Xf игрока / заменяется на его стратегию х[-. Получившуюся в результате Такой замены ситуацию (Xj,. .. , х- i, xj-, j, . . ., х„) принято обозначать через Xj 11 xl, а если это не сможет привести к недоразумениям, то через х II xf, Очевидно, в том случае, когда стратегии Xf иxj- совпадают, х II xl -х.

Теперь мы можем сформулировать определение приемлемой ситуации следующим образом.

Определение. Ситуация х в игре (1.1) называется приемлемой для игрока z, если для любой его стратегии xj-

Я,(х \\x\)<Hi{xl(4.1)

11*163



Множество всех ситуаций, приемлемых в игре .Г для игрока г, будем обозначать через & / (Г). □

4.2. От приемлемых ситуаций мы можем, как и в антагонистическом случае перейти к ситуациям равновесия.

Определение. Ситуация в игре Г, приемлемая в ней для всех игроков, называется шгудгмей равновесия {илиравновесной ситуацией).

Иными словами, ситуация х называется ситуацией равновесия, если для любого игрока / G / и любой его стратегии х G Х/ выполняется неравенство (4.1).

Множество всех ситуаций равновесия в игре Г будем обозначать через ЩГ). □ Очевидно,

(Г)= п %ДГ).

Из определения видно, что в ситуациях равновесия и только в них ни один игрок не заинтересован в отклонении от своей стратегии. В частности, если ситуация равновесия оказывается предметом договора между игроками, то ни один из игроков не будет заинтересован в нарушении своих обязательств. Наоборот, если в договоре зафиксирована неравновесная ситуация, то по определению найдется хотя бы один игрок, который будет заинтересован в отклонении от нее и тем самым - в нарушении этого договора.

Определение. Равновесной стратегией игрока в бескоалиционной игре называется такая его стратегия, которая входит хотя бы в одну из ситуаций равновесия игры. □

В случае антагонистической игры равновесные стратегии игроков совпадают с их оптимальными стратегиями. Для неантагонистических игр, напротив, понятие оптимальной стратегии игрока нередко вообще не имеет смысла: в таких играх оптимальными оказьшаются не стратегии отдельных игроков, а их сочетания, (т.е. ситуации) и притом для множества всех игроков сразу.

Поэтому в общих бескоалиционных играх как оптимальные следует квалифицировать не действия того или иного игрока, а совокупность действий всех игроков, исход игры, ситуацию в ней. Именно в таком смысле следует понимать оптимальность приемлемых ситуаций в бескоалиционной игре и ситуаций равновесия в ней.

Значительная часть теории бескоалиционных игр состоит в исследовании свойств их ситуаций равновесия и равновесных стратегий игроков, а также в разработка способов их нахождения.

Процесс нахождения ситуаций равновесия в бескоалиционной игре часто называется решением игры.

§ 5. ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИЕМЛЕМЫХ И РАВНОВЕСНЫХ СИТУАЦИЙ

5.1. Свойства приемлемости ситуаций, как и в случае антагонистических игр, оказываются инвариантными относительно аффиных эквивалент-ностей и изоморфизмов.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54 ] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]