Глава 3 БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ
§1. ПОНЯТИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОАЛИЦИОННОЙ ИГРЫ
1.1.Антагонистические игры, которыми мы занимались в двух первых главах книги, описывают конфликты весьма частного вида. Более того, для большинства имеющих место в реальной жизни конфликтов антагонистические игры либо вовсе не могут считаться приемлемыми, адекватными описаниями, либо, в лучшем случае, могут рассматриваться как первые, грубые приближения.
Во-первых, антагонистические игры никак не затрагивают своими описаниями конфликты с числом сторон, большим чем два. Вместе с тем, такие многосторонние конфликты не только встречаются в действительности, но являются принципиально более сложными, чем конфликты с двумя участниками, и даже, как выяснится дальше, не поддаются сведению к последним.
Во-вторых, даже в конфликтах с двумя участниками интересы сторон вовсе не обязаны быть противоположными; во многих конфиликтах такого рода случается так, что одна из ситуаций оказывается предпочтительнее другой для обоих участников.
В-третьих, даже если любые две ситуации сравниваются игроками по их предпочтительности противоположным образом, различие разностей в оценках этой предпочтительности оставляет место для соглашений, компромиссов и коопераций.
Наконец, в-четвертых, содержательная острота конфликта не обязательно соответствует его формальной антагонистичности. Например, при встрече двух боевых единиц воюющих сторон (скажем, танков) обоюдное их стремление уничтожить друг друга не выражает антагонистичности конфликта: в антагонистическом конфликте цели сторон оказываются строго противоположными, и стремлению одной стороны уничтожить другую противоположным будет стремление избежать уничтожения.
На основании сказанного теория игр не может ограничиться изучением антагонистических игр, а должна иметь своим предметом также игры более общей природа.
1.2.Определение. Бескоалиционной игрой называется система
Г = </, {х,.},е/, {Я,-},.),(1.1)
в которой I и Xj, i 1, являются множествами, а Я/ - функциями на множестве х = П х/, принимаюпщми вещественные значения.
При этом элементы множества / называются игроками, элементы каждого из множеств Х/ - стратегиями игрока /, элементы декартова произведения X - ситуациями, каждая функция Я,- - функцией выигрыша игрока /, а ее значение Я/ (л:) в ситуации х - выигрышем игрока i в ситуации X. Подмножества множества всех игроков мы будем называть коалициями, □
Бескоалиционность игры (1.1) следует понимать в том смысле, что группам игроков ("коалициям") не приписывается ни каких-либо стратегических возможностей, ни каких-либо интересов, за исключением тех, которые вытекают из стратегических возможностей и интересов отдельных игроков. Впрочем, далее будет видно (см. гл. 4), что объединение игроков даже в такие сравнительно примитивные образования может давать "кооперативный" эффект.
В данном курсе рассматриваются только бескоалиционные игры, т.е. такие игры, в которых целью каждого участника является получение по возможности большего индивидуального выигрыша. Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коллективов (коалиций) без последующего их разделения между игроками, называются коалиционными. Теория коалиционных игр весьма сложна и в настоящий курс не входит.
Далее мы будем считать множество игроков / конечным, хотя в современной теории игр рассматриваются игры и с бесконечными множествами игроков, представляющие не только теоретический, математический, но и прикладной экономический интерес. Обычно принято различать игроков по их номерам, т.е. считать, что I = {1,2,.., ,п).
В изложении основных понятий и фактов теории бескоалиционных игр мы будем придерживаться - в той мере, в какой это возможно и целесообразно - параллелизма с изложением теории матричных игр в гл. 1.
1.3.Содержательно процесс игры Г состоит в выборе каждым из игроков одной своей стратегии Х/ G х/, и, таким образом, в результате каждой партии игры складьшается система стратегий (xi,..., х„) = х, т.е. ситуация. Естественно считать, что каждый игрок имеет не менее двух различных стратегий, так как иначе, если он располагает только одной стратегией, его действия оказываются заранее определенными, и он фактически в игре участия не принимает.
1.4.Выделим несколько частных классов бескоалиционных игр. Прежде всего заметим, что среди явлений, описываемых посредством
бескоалиционных игр, довольно много таких, которые сводятся к распределению между игроками некоторого постоянного количества. В теории игр им соответствуют игры с постоянной суммой.
Определение. Бескоалиционная игра Г из (1.1) называется игрой с постоянной суммой, если существует такое постоянное с, что 2 Я/ (х) =
= с для всех ситуаций х G х.
Если для игры Г с постоянной суммой константа с равна нулю, то Г назьшается игрой с нулевой суммой, □
Нетрудно проверить (ср. также п. 1.5 введения и п. 1.1 гл.1), что класс антагонистических игр совпадает с классом игр двух лиц с нулевой суммой.
1.5. Кроме того, представляют интерес игры с конечными множествами стратегий игроков.
Определение. Если в бескоалиционной игре Г из (1.1) множество стратегий Xf каждого из игроков i I конечно, то игра Г называется конечной.
Конечная игра двух лиц называется биматричной ввиду естественной возможности расположения значений функций выигрыша двух игроков в виде пары матриц (ср. п. 1,6 введения, п. 1.2 гл. 1, а также далее п. 12.1). □
§ 2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ БЕСКОАЛИЦИОННЫМИ ИГРАМИ
2.1.Понятия аффинной эквивалентности, изоморфности и подыгры для произвольных бескоалиционных игр обобщают достаточно непосредственным образом соответствующие понятия, введенные для антагонистических игр в § 1 гл. 1. Естественно, что эти отношения обладают свойствами, аналогичными свойствам анатагонистических игр, а сами игры -- аналогичными свойствами инвариантности в смысле этих отношений.
Далее мы будем говорить о тех или иных отношениях между бескоалиционными играми
Г = </,{х,},е/ {Я,},е/ >,(2.1)
Г = </, {х;},е/, ( ;}/е/>-(2.2)
Определение. Игра Г из (2.2) называется аффинно эквивалентной
игре Г из (2.1), если= Х/ , / (отсюда уже следует, что игры
Г и Г имеют одно и то же множество ситуаций), и
Н-(х)к,Н,(х)а,-. iGI,(2.3)
где А,-> О, /е/.
Аффинную эквивалентность игр Г и Г будем обозначать через Г Г. □ Различие между двумя аффинно эквивалентными играми по существу состоит в различии начальных капиталов игроков Д/ и в соотношениях единиц измерения выигрышей, определяемых коэффициентами kf. Эти различия и коэффициенты у разных игроков могут быть, вообще говоря, различными.
2.2.Особо отметим частный случай аффинной эквивалентности бескоалиционных игр.
Определение. Бескоалиционные игры Г и Г из (2.1) и (2.2) называются однородно аффинно эквившинтными, если соотношение (2.3) вьшолняется для них с=А, / G/.D
Очевидно, для антагонистических игр понятия аффинной эквивалентности и однородной аффинной эквивалентности совпадают.
Как и в случае антагонистических игр, устанавливается (ср. георемы п. 1.3), что отношение аффинной эквивалентности является рефлексивным, симметричным и транзитивным и потому действительно эквивалентным отношением, разбивающим ("факторизующим") класс всех бескоалиционных игр с одним и тем же множеством ситуаций на попарно непересекающиеся подклассы аффинно эквивалентных друг другу игр. То же можно сказать и по поводу однородной аффинной эквивалентности.
П.Н.Н. Воробьев161