назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [ 52 ] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


52

31.6. Выясним, где плотность / может обращаться в нуль. Предположим, что некоторый участок ненулевой плотности кончается в точке Xi, а далее вплоть до точки Х2 > Xi) идст 3iacT0K нулевой плотности. Поскольку Хх является точкой спектра стратегии/, мы, согласно теореме п. 5.8, имеем:

ЖхьЛ = иг Н(Х2,П,(31.10)

Но, с другой стороны,

Я(хь/) = } H{xuy)f{y)dy, о

Разбивая этот интеграл на три части - от О до , от Хх до Х2 и от Х2 до 1 -и учитывая, что между Хх и Хг плотность / по предположенному обращается в нуль, получаем

Я(хьЛ = ?H(xuy)ny)dy+ } H{x\,y)f{y)dy

И аналогично

H{x2.f) = / Hix2,y)f{y)dy fH(x2,y)ny)dy. о

Поэтому, принимая во внимание выражения для функции Я, имеем

H(x2.n-Hixx.n = (x2-Xx)7f(y)dy2(x2 -xx)f f(y)dy

(X2-Xx)f ny)dy =Х2-Хх>0.

а это противоречит (31.10).

Из сказанного следует, что за участком положительной плотности / участок нулевой плотности следовать не может. Это в свою очередь означает, что плотность / может обращаться в нуль лишь между нулем и некоторым а>0. Таким образом, мы имеем:

Опри х<а.

при ха.

31.7. Параметры С и а пока остаются неизвестными. Для их определения воспользуемся содержательными соображениями. Во-первых, / является плотностью вероятностного распределения. Поэтому должно быть

}f(x)dx= fnx)dx = 1.(31.11)

Во-вторых, как бьшо показано, 1 является точкой спектра некоторой оптимальной стратегии (именно, стратегии с плотностью/) для игрока 2. Следовательно, на основании теоремы п. 5.8 должно быть

Я(/ I) = Vr = 0.(31.12)



Равенства (31.11) и (31.12) являются условиями для определения значений а и С. Перепишем их с этой целью в явном виде. Соотношение (31.11) 1

запишется как С f x~dx= I, т.е.

C(-2)x-i/2 = 2С-- 1=1.

Далее, на основании симметричности игры

Ж/, 1) = -Я(1,/) = -Cf(l~2y)y-dy = 0.

(31.13)

Поскольку СФО, эта дает нам

/(J-3/2 2-1/2)ф; = ( 2у-1/2 41/2)1 Q а

Выполняя двойную постановку, получаем l/Va + 2y/F -3=0, откуда

Рис. 2.23

2л - Ъ\1а 1=0. Это квадратное уравнение имеет два корня: 1 и 1/4. Корень а = 1 противоречит равенству (31.13), а подстановка в (31.13) а - 1/4 дает нам С = 1/2.

Таким образом, искомая оптимальная стратегия игрока 1 определяется плотностью

0при х< 1/4,

1(31.14)

-1-V-3/2

при х 1/4.

График функции / изображен на рис. 2.23.

31.8. Дифференцируемость плотности / очевидна. Нам остается проверить, что найденные стратегии игроков действительно являются оптимальными. В соответствии с п. 5.5 для этого достаточно убедиться в том, что при любом л: H(x,f) <Ur =0-

В самом деле, при х 1/4 правая часть формулы (31.7) приобретает вид

}{2x-y)y~ldy = {{~2)2ху-1 -2у1) 2 1/42

поскольку в рассматриваемом случае х< 1/2.

2х 1 ---<0,



Вместе с тем параметры а = 1/4 и С = 1/2 именно так и были найдены, чтобы определяемая посредством (31.14) плотность / удовлетворяла условию (31.12).

Формула же (31.8) при 1/4 л: 1 дает нам

Ш(х, /)

- - X

-1/2

-1/2

I -x-i/+x-i/-l-M = 0.

Тем самым оптимальность стратегии с плотностью / установлена.

31.9. Подчеркнем, что в ходе анализа рассматриваемой игры мы воспользовались существенным предположением о существовании оптимальных стратегий у игроков и о виде некоторой оптимальной стратегии каждого из игроков. Именно, мы предположили, что она имеет дифференцируемую плотность. Это предположение, в данном случае чисто интуитивное, привело нас к цели. К сожалению, теория игр еще не накопила необходимого опыта в решении конкретных задач, чтобы такого рода интуитивные соображения возникали достаточно часто.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [ 52 ] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]