31.6. Выясним, где плотность / может обращаться в нуль. Предположим, что некоторый участок ненулевой плотности кончается в точке Xi, а далее вплоть до точки Х2 > Xi) идст 3iacT0K нулевой плотности. Поскольку Хх является точкой спектра стратегии/, мы, согласно теореме п. 5.8, имеем:
ЖхьЛ = иг Н(Х2,П,(31.10)
Но, с другой стороны,
Я(хь/) = } H{xuy)f{y)dy, о
Разбивая этот интеграл на три части - от О до , от Хх до Х2 и от Х2 до 1 -и учитывая, что между Хх и Хг плотность / по предположенному обращается в нуль, получаем
Я(хьЛ = ?H(xuy)ny)dy+ } H{x\,y)f{y)dy
И аналогично
H{x2.f) = / Hix2,y)f{y)dy fH(x2,y)ny)dy. о
Поэтому, принимая во внимание выражения для функции Я, имеем
H(x2.n-Hixx.n = (x2-Xx)7f(y)dy2(x2 -xx)f f(y)dy
(X2-Xx)f ny)dy =Х2-Хх>0.
а это противоречит (31.10).
Из сказанного следует, что за участком положительной плотности / участок нулевой плотности следовать не может. Это в свою очередь означает, что плотность / может обращаться в нуль лишь между нулем и некоторым а>0. Таким образом, мы имеем:
Опри х<а.
при ха.
31.7. Параметры С и а пока остаются неизвестными. Для их определения воспользуемся содержательными соображениями. Во-первых, / является плотностью вероятностного распределения. Поэтому должно быть
}f(x)dx= fnx)dx = 1.(31.11)
Во-вторых, как бьшо показано, 1 является точкой спектра некоторой оптимальной стратегии (именно, стратегии с плотностью/) для игрока 2. Следовательно, на основании теоремы п. 5.8 должно быть
Я(/ I) = Vr = 0.(31.12)
Равенства (31.11) и (31.12) являются условиями для определения значений а и С. Перепишем их с этой целью в явном виде. Соотношение (31.11) 1
запишется как С f x~dx= I, т.е.
C(-2)x-i/2 = 2С-- 1=1.
Далее, на основании симметричности игры
Ж/, 1) = -Я(1,/) = -Cf(l~2y)y-dy = 0.
(31.13)
Поскольку СФО, эта дает нам
/(J-3/2 2-1/2)ф; = ( 2у-1/2 41/2)1 Q а
Выполняя двойную постановку, получаем l/Va + 2y/F -3=0, откуда
Рис. 2.23
2л - Ъ\1а 1=0. Это квадратное уравнение имеет два корня: 1 и 1/4. Корень а = 1 противоречит равенству (31.13), а подстановка в (31.13) а - 1/4 дает нам С = 1/2.
Таким образом, искомая оптимальная стратегия игрока 1 определяется плотностью
0при х< 1/4,
1(31.14)
-1-V-3/2
при х 1/4.
График функции / изображен на рис. 2.23.
31.8. Дифференцируемость плотности / очевидна. Нам остается проверить, что найденные стратегии игроков действительно являются оптимальными. В соответствии с п. 5.5 для этого достаточно убедиться в том, что при любом л: H(x,f) <Ur =0-
В самом деле, при х 1/4 правая часть формулы (31.7) приобретает вид
}{2x-y)y~ldy = {{~2)2ху-1 -2у1) 2 1/42
поскольку в рассматриваемом случае х< 1/2.
2х 1 ---<0,
Вместе с тем параметры а = 1/4 и С = 1/2 именно так и были найдены, чтобы определяемая посредством (31.14) плотность / удовлетворяла условию (31.12).
Формула же (31.8) при 1/4 л: 1 дает нам
Ш(х, /)
- - X
-1/2
-1/2
I -x-i/+x-i/-l-M = 0.
Тем самым оптимальность стратегии с плотностью / установлена.
31.9. Подчеркнем, что в ходе анализа рассматриваемой игры мы воспользовались существенным предположением о существовании оптимальных стратегий у игроков и о виде некоторой оптимальной стратегии каждого из игроков. Именно, мы предположили, что она имеет дифференцируемую плотность. Это предположение, в данном случае чисто интуитивное, привело нас к цели. К сожалению, теория игр еще не накопила необходимого опыта в решении конкретных задач, чтобы такого рода интуитивные соображения возникали достаточно часто.