назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


5

Нетрудно видеть, однако, что существование в бескоалищюнной игре ситуаций, оптимальных в только что описанном смысле, является сравнительно редким исключением (как и любое совпадение максимумов нескольких функций). В сущности как формально, так и содержательно реализуемость зтого принципа оптимальности соответствует слабости конфликтных черт моделируемого явления, близости целей его участников и, в конечном счете, возможности анализировать этот конфликт, минуя теорию игр.

Из приведенных в § 2 примеров бескоалиционных игр только в первом имеется ситуация, оптимальная в указанном смысле (Студент хорошо подготовился, а Преподователь поставил ему зачет). В остальных примерах, соответствующих житейски достаточно реальным случаям, оптимальных в описанном смысле ситуаций нет. Естественно поэтому искать другие представления об оптимальности, быть может, не столь бесспорные, но зато более часто реализуемые.

§ 4. РАВНОВЕСИЕ

4.1.Одной из плодотворных форм реализаций представлений об оптимальности можно считать понятие равновесия, состоящее в следующем. Ситуация назвается равновесной, если ни один из игроков не заинтересован в том, чтобы ее нарушить, отклониться от нее. Формально это можно записать следующим образом. Пусть

Г = </, {х,.}{г) /е/>(4.1)

- бескоалиционная игра, а х= (Xj,.. . ,x„) - некоторая ситуация в ней. Если Xf - произвольная стратегия игрока /, то положим

X \\ Xf - (Xi , . . . , Xf I, X-, Xf 1J . .. 5 x„).

Таким образом, x IIХ/ есть результат замены в ситуации х стратегии х,- игрока / на его стратегию х. Ситуация х* называется равновесной (или ситуацией равновесия), если

Hi(x*\\xf)Hi(x*) при любых/ G/ и х. .(4.2)

4.2.Если игра Г из (4.1) является антагонистической, то ситуация х* имеет вид (х*,у*) и соотношение (4.2) может быть переписано в виде

Я(х,>*)Я(х*,;;)Я(х*,>)при любыхх G хи G у

(подробно об этом будет рассказьшаться в п. 4.2 гл. 1). В случае антагонистической игры ситуация равновесия называется ее седдовой точкой. Функция вьшгрьппа игры во всех ее седловых точках принимает одно и то же значение, которое называется значением игры и обозначается через vy.

Значение антагонистической игры Г (см.п. 4.5 гл. 1) есть тот наибольший вьшгрьпп, который игрок 1 может в ней уверенно получить. Тем самым оно равно той справедливой плате, которую игроку 1 естественно уплатить за возможность принять участие в игре Г.

4.3.Именно ситуации равновесия могут быть предметом устойчивых договоров между игроками. Всякая попытка зафиксировать в договоре неравновесную ситуацию будет означать, что хотя бы у одной из договаривающихся сторон найдется такая стратегия, что выбор ее вместо пре-



дусмотренной договором увеличит выигрыш этого игрока. Тем самым возникают мотивы к нарушению договора.

Далее, ситуации равновесия являются для каждого игрока вьподными: соотношение (4.1) можно записать как

Я/(х*)= max ЯДх* 11x)1 для любого / G/,

т.е. каждый игрок / в ситуации х* получает свой наибольший выигрыш (в той мере, в какой это от него самого зависит).

Наконец, равновесная ситуация может пониматься в том же смысле и с теми же оговорками, что и оптимальная ситуация из п. 3.9, и как справедливая: в систему (4.2) определяющих ее соотношений все игроки входят симметрично.

4.4. Принцип оптимальности в бескоалиционной игре, состоящий в осуществлении игроками ее ситуаций равновесия, является более слабым и чаще реализуемым, чем принцип, описанный в п.3.9. Из примеров, приведенных в § 2, только в примерах из пп. 2.3 и 2.4 игра не имеет ситуаций равновесия. Однако каждый из примеров пп. 2.3 - 2.6 порождает проблематику, занимающую заметное место в теории игр.

45. Если в бескоалиционной игре ситуаций равновесия нет, как это, например, имеет место в игре из п. 2.4, то мы встречаемся с неразрешимой задачей, т.е. с задачей, решение которой отсутствует в классе уже имеющихся объектов. Вместе с тем история математики полна примерами того, как встреча с неразрешимой задачей приводила к такому расширению класса имеющихся объектов, в котором нужное решение задачи содержалось. Пожалуй, первым примером задачи такого рода оказалось деление целых чисел, в классе имевшихся к тому времени целых чисел не всегда выполнимое. Для того чтобы задача деления одного числа на другое бьша всегда разрешимой, пришлось расширить понятие числа и ввести в рассмотрение наряду с целыми еще и дробные числа.

Сходным образом, при отсутствии в игре ситуаций равновесия, составленных из имеющихся -у игроков стратегий, естественно поставить вопрос о таком расширении понятия стратегии, чтобы среди ситуаций, составленных из новых, обобщенных стратегий заведомо нашлись бы равновесные.

4.6. Отсутствие ситуации равновесия в игре из п. 2.4 напоминает достаточно знакомую картину возможного отсутствия максимума функции на открытом множестве, например, функции Н (х) =х на интервале (0,1). Однако если присоединить к этому интервалу предельную точку л: = 1, то максимум рассматриваемой функции достигаться будет, и именно на этой предельной точке. Оставаясь же в пределах исходного интервала, мы можем, как это бьшо отмечено в п. 3.3, неограниченно к этому максимуму приближаться. Ввиду непрерывности данной функции Я тем самым мы для любого е>0 указьюаем "б-максимум" этой функции, т.е. такие значения аргумента х, что выбор вместо другого ее значения может увеличить значение функции Я не более чем на е. Очевидно, в рассматриваемом случае можно взять произвольно Е (1 - е, 1).

Точно так же и в условиях игры из примера п. 2.4 присоединение к интервалам (О, 1) изменения переменных х и> их предельных точек х = 1 и у = 0 превращает пространство ситуаций игры в "полузамкнутый" квадрат 16



(0,1] X [0,1), на котором седловая точка функции Н{х,у) =х + >-уже будет достигаться, а именно в точке (х*,>*) сх*=1 м у*=0. При этом "по непрерьюности" будет Я(1, 0) =1. В исходном же открытом квадрате при любом 6 > О найдется такая бч:едловая точка {х,у), что любое изменение стратегии игрока 1 не сможет увеличить его выигрыш по сравнению с выигрышем в этой ечедловой точке более чем на б, а любое изменение стратегии у игрока 2 не сможет уменьшить более чем на е его потери. Для этого, очевидно, достаточно взять х G (1 - 6, 1) и (О, в).

Таким образом, отсутствие ситуаций равновесия в игре из примера п. 2.4 в известной мере преодолевается введением бчедловых точек, существующих при любом е > 0.

4.7.Отсутствие седловых точек в игре из п. 2.3 также приводит к неразрешимой задаче, но и б-седловых точек здесь при некоторых положительных 6 ввести не удается, и неразрешимость задачи требует несколько нетрадиционных обобщенных стратегий.

Такими обобщенными стратегиями оказьюаются вьшзклые комбинации исходных стратегий, которые называются смешанными стратегиями. Исходные же стратегии назьюаются при этом чистыми. При этом значения функций выигрыша на ситуациях, составленных из смешанных стратегий, определяются путем продолжения их первоначальных значений "по полилинейности". Так сконструированная игра обычно назьшается смешанным расширением исходной игры.

Одной из удобных интерпретаций смешанной стратегии является ее представление как случайного выбора игроками их чистых стратегий, причем случайные выборы различных игроков независимы в совокупности, а вьшгрыш каждого из них в ситуации в смешанных стратегиях определяется как математическое ожидание случайного выигрыша.

Нетрудно проверить, что в игре в "орлянку" из п. 2.3 ситуация равновесия (в данном случае ее можно назьшать седловой точкой) в смешанных стратегиях существует. Она составлена из смешанных стратегий игроков, состоящих в выборе каждым из них обоих своих чистых стратегий с половинными вероятностями. Как легко подсчитать, значение получившегося смешанного расширения игры равно нулю (см., например, § 18 гл. 1).

4.8.Игра "два бандита" из п. 2.5 ситуацию равновесия имеет: эта ситуация состоит из первых стратегий игроков. Каждый из них несет в этой ситуации потери, равные 8. Однако в неравновесной ситуации, состоящей из вторых стратегий игроков, потери каждого из них будут равны единице. Таким образом, равновесная, устойчивая ситуация оказьюается невыгодной, а выгодная - неравновесной. Нахождение в этой игре ситуации, которая одновременно являлась бы устойчивой и выгодной, оказывается тем самым неразрешимой задачей, которая, как мы уже можем себе представить, требует некоторого расширения понятия стратегии.

Однако ситуация равновесия в чистых стратегиях здесь уже имеется, так что введение смешанных стратегий в данном случае делу не поможет, и приходится искать новое обобщение понятия стратегии. Таким обобщением может служить понятие условной стратегии, называемой также метастратегией. состоящей в том, что игрок выбирает свою исходную стратегию не априори, а в зависимости от того, какую стратегию выбирают другие участники игры.

2.Н.Н. Воробьев17

[Старт] [1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]