мы перепишем систему равенств (24.13) в вицек - Х=0, =1,...,п,

1

откуда = X/ZA:, к = 1,... , п. Суммируя, получим 1 = X D - , так что

/ = 1 Dj

п 1

и окончательно

1 / « 1 V /)Л/=1 А/

§ 25*. ПРИМЕРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕСУРСОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

25.1.Опишем некоторые из тех интерпретаций, которые может иметь игра, проанализированная в предьщущем параграфе.

Как и в примере из § 18, можно рассматривать распределение капиталовложений по созданию (или нараищванию) производственных мощностей предприятий при неопределенности набора производственных заданий, где целью является скорейшее выполнение заданий всеми предприятиями, или минимизация наиболее интенсивных перегрузок в работе предприятий при выполнении ими работ в заданный срок. При этом, разумеется, зависимость производственной мощности предприятия ipj от капиталовложений У1 должна быть такой, чтобы функция (*р{у))~ являлась строго вьшуклой.

25.2.Можно дать игре из § 24 интерпретацию в терминах строительной механики. Пусть мы имеем дело с конструкцией, в которой "опасными" могут считаться

ее элементы 1, 2, . . . , л (остальные элементы таковыми не считаются, например, потому, что их размеры, назначаемые не по соображениям безопасности, а по иным, конструктивным, технологическим или эксплуатационным соображениям, не связаны с нагрузками на эти элементы и обеспечивают безопасность их работы, далеко превосходящую необходимый уровень), и в случае нагрузки л: GX в них возникают соответственно усилия ,. .. , д:„.

Пусть на элемент/выделена доля материала (т.е., как обычно, j/ > О иу + . . . ...+>;„ = 1).

Будем далее для простоты считать, что предельная допустимая нагрузка на элемент / конструкции известна и зависит от характеристики yf его поперечных размеров. В качестве такой характеристики мы будем принимать площадь поперечного сечения элемента, считая, что с изменением yi это сечение остается геометрически подобным самому себе.

Обозначим через iXjyi) долю от предельной нагрузки на элемент / конструкции, которая возникает в нем при усилии Xf и площади его поперечного сечения Функция FiiXf, •) часто оказывается выпуклой.

Например, если дг/ есть сжимающее или растягивающее усилие, а призматический стержень/ работает на прочность, то F,(a:/,>/) = Л раст>/» где Л с тем или иным индексом - здесь и далее коэффициент, характеризующий механические качества материала, а также, если это существенно, продольные размеры элемента.

Если xi - сжимающее усилие, а элемент / работает на продольную устойчивость, то Ff (Xf, yi) = Ax/yj, Наконец, если х - изгибающее усилие в балке /, то

Е( ii, yf) = H3r v?. Нетрудно в задачах такого рода интерпретировать принцип максимина как известный принцип равнопрочности.

25.3.Рассмотрим, наконец, интерпретацию той же игры в терминах следующей статастической задачи.

Пусть дана система из п независимых в совокупности случайных величин X, . . . ..., система дисперсий (DX,,.. . , DX) которых составляет вектор х из некоторого компакта х. Поставим вопрос о равномерно наиболее точном (в смысле миними-

зации дисперсий оценок) определении средних МДГ/ (i = 1,.. . ,«) на основании достаточно большого числа наблюдений, каждое из которых может быть произведено на любой из случайных величин х/ при условии, что набор дисперсий этих случайных величин является в пределах х неопределенным.

Очевидно, рассматриваемая задача состоит в нахождении оптимальной стратегии игрока 2 в игре Г = < х, у, Я >, для которой х - компакт в К",

i = 1

(число N объявляется достаточно большим, чтобы не рассматривать эффекта от его ограниченной дроби мости), а для х и у имеет место равенство

Н(х, у) = max - .

l</w у]

Значение этой игры будет требуемой минимальной дисперсией.

§ 26. ИГРЫ С РАЗРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ВЫИГРЫША

26.1.Отмеченная в п. 8.3 принципиальная возможность сколь угодно точного решения вполне ограниченных игр, и в том числе - согласно п. 11.4 - непрерьшных игр на единичном квадрате, распространению на игры на единичном квадрате с разрывными функциями вьшгрыша, вообще говоря, не поддается. В § 20 нами бьши рассмотрены вьшуклые игры с разрьшными функциями вьшгрыша при конкретных значениях стратегий игрока 2. Модифицируя эти рассуждения, можно без труда показать, что игры на единичном квадрате, в которых функция вьшгрыша Я терпит разрьшы лишь вдоль конечного числа отрезков вида х = const или у = const, являются вполне ограниченными, и их решение напоминает решение непрерьшных игр.

26.2.Существенно иначе обстоит дело, если функция вьшгрыша игры на единичном квадрате разрьшна вдоль каких-либо отрезков (прямолинейных или криволинейных), не параллельных ни одной из сторон квадрата ситуаций.

Следующая теорема обобщает конкретный факт, отмеченный в связи с примером 3 из п. 6.3.

Теорема. Пусть Г - игра на единичном квадрате, функция выигрыша Я которой имеет скачки положительной величины вдоль дуги кривой у =/(х),где/- непрерывная строго возрастающая функция, для которой

lim Hix-t,f(x)) - Пт Н{х + t, fix)) > е > О(26.1)

в некоторой окрестности {а; /3) точки хх. Вне кривой у f{x) в этой окрестности функция Н предполагается непрерывной.

Тогда игра Г не является вполне ограниченной.

Доказательство. Предположим для определенности, что

Hix - О, fix)) > Hix + О, fix)).

CDS X

Рис. 2.9

10.Н.Н. Воробьев

и найдем по непрерывности / и на основании (26.1) столь малое 6 > О, что, во-первых, a<x-6<x + 6</3, и, во-вторых, для xg(x-6,x + 6) имеет место неравенство

Mix, у) Н{х",у")>е1Ъ(26.2)

для всех таких пар (х, J) , что хG (х - б,х + е), JG (/(х - с);/(х + е)) иу > fix), и всех таких пар (х",у") , что х" G (х - е, х + е), у" G (fix - е), fix + е)) иу" < fix") (рис. 2.9).

Если теперь х < х ", то по монотонности функции / должно быть и fix) < fix "), и можно выбрать некоторое G (f(x), Дх") ). Согласно условию (26.2) Жх, у) -- Hix",y) > е/3,так что и

р,(х,х") = sup \Hix,y) -Н(х\у) I > е/3.

Таким образом, расстояние между любыми двумя стратегиями х, х" G (х - е, X + е) превосходит е/3, и уже этот интервал стратегий игрока 1 не является вполне ограниченным во внутренней топологии. Тем более не является таковым пространство всех стратегий игрока 1. □

26.3. Из сказанного следует, что игры с разрьюными функциями выигрыша не описьшаются матричными играми даже приближенно, и для их решения следует разра-батьтать принципиально новые методы. Далее будет приведено два примера таких игр.

§ 27. ПРОСТЫЕ ИГРЫ 27.1. Определение. Антагонистическая игра

Г-<х,у,Я>(27.1)

назьшается простой, если ее функция выигрыша И принимает ровно два значения. □

Очевидно, всякая простая игра аффинно эквивалентна игре, в которой функция вьшгрыша принимает значения О или 1. Далее мы ограничимся рассмотрением только таких игр.

Простые игры соответствуют таким явлениям порогового типа, когда игрок 1 в той или иной ситуации получает либо "все" (его вьшгрыш равен единице) , либо "ничего" (выигрыш равен нулю) .

Ясно, что всякая простая игра Г полностью характеризуется множеством Zp единиц своей функции вьшгрыша, т.е. множеством

zr = {ix,y): Н(х,у)=1).

Поэтому такую игру можно обозначить через < х, у, z >.

Игрок 1, выбирая свою конкретную стратегию Xq, выигрывает единицу, если стратегия у игрока 2 попадает в "хо-сечение" Zp \хо множества zp, т.е. если

jGzpUo={y: (xo,y)Gzp}

(см. рис. 2.10). Поэтому разумное, максиминное поведение игрока 1 в простой игре должно состоять в наиболее полном ("густом") покрытии всего множества у х-сечениями.

В свою очередь игрок 2, выбирая свою конкретную стратегию у о, теряет единицу, если стратегия 2 игрока 1 попадает в "jo-сечение" Zp jo множества Zp, т.е. если

xGzy \уо ={х: (x,yo)ezy } .