назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [ 44 ] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


44

т.е. при

у*=.(18.3)

1+Ь -а

18.4.В этом случае

v = l+(b-a),(18.4)

т.е. ожидаемая дополнительная перегрузка равна b - а,

18.5.Для выяснения того, какие стратегии игрока 1 будут существенными, заметим, что, как легко проверить, согласно (18.3) должно быть а< у* Ь, причем равенство возможно лишь в случае а = Ь. Так кж это соответствует случаю полной определенности, который не представляет специального теоретико-игрового интереса, будем считать, что а <у* <

Очевидно, существенными стратегиями игрока 1 оказываются х = д и х = Ь. Для определения их вероятностей в единственной оптимальной смешанной стратегии вычислим производные

ЬН{а,у)

ЪН(Ь, у) Ъу

1-а {\rb-af

>0,

{\-yf1-а

b(1-b-af

< 0.

Искомые вероятности находятся из уравнения

(l+b-af(l+b-af

а--- -(1-а)--- =0,

1 -аb

откуда

1 -а

1 +Ь -а

(18.5)

18.6.Заметим, что как оптимальное поведение проектировщика в этой игре, так и уровень перегрузки в седловой точке (т.е. значение игры) совпадают с теми, которые возникли бы, если бы нагрузки на каждое предприятие оказались максимально возможными - Ь на первое и 1 - а на второе - хотя в действительности одновременно такой загрузки предприятий условия задачи не предусматривают.

18.7.Например, если проектировщику известно, что потребность в первом пункте может колебаться oi 30 до 60% от суммарной, т.е. что а = 0,3, а г? = 0,6, то он должен согласно (18.3) поместить там 0,6(1 + 0,6 --0,3)" =0,46,т.е.46%отпр(Ж[зводственной мощности. Коэффициент перегрузки, определяемый значением игры, будет равен, ввиду (18.4), I + 0,6 -- 0,3 = 1,3, а наименее благоприятное стечение обстоятельств будет, в соответствии с (18.5), состоять в появлении полной суммарной потребности в первом пункте с вероятностью (1 - 0,3) (1 + 0,6 - 03) =0,54.



§ 19. ИГРА НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ С ВЫПУКЛОЙ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫИГРЫША

19.1.Говоря даже чисто формально, в игре из предыдущего параграфа случай, когдад = О или b = 1, рассматривать нельзя ввиду обращения в нуль знаменателей в дробях из (18.1) и (18.2). Однако, как мы сейчас увидим, отличие выпуклой игры на единичном квадрате с неограниченной функцией выигрыша от ранее рассмотренных вьшуклых игр чисто формальным и остается, потому что стратегии игрока 2, на которых его потери становятся уже очень большими, оказываются доминируемыми и могут быть исключены из рассмотрения.

Итак, будем рассматривать игру

Г = <х,у,Я),(19.1)

в которой х= [О, 1], у = (0,1), все функции Я(х, •) выпуклы, равностепенно непрерывны по д: и для каждой из них (равностепенно по х) выполняются предельные соотношения

lim Н{х,у) =+«>,(19.2)

\\тН{х,у) =+оо(19.3)

или хотя бы одно из них. Для определенности мы будем считать, что выполнены оба соотношения (19.2) и (19.3).

Покажем, что анализ игр такого рода сводится к анализу уже рассмотренных выше вьшуклых игр.

19.2.Введем в рассмотрение вспомогательную игру Ге = <х, у, Я), где X, как и выше, есть сегмент [О, 1], у = [е, 1 - е], а Я есть сужение на X X у функции вьшгрыша Я игры Г из (19.1).

Теорема. Найдется такое достаточно, малое б > О, что (Г) = (Ц).

Доказательство. Фиксируем некоторое значение б>О и построим игру Г. Игра Ге является выпуклой и непрерьюной. Пусть у1) - некоторая ее седловая точка, а - ее значение. Найдем далее такое е G (О, е), что при > 1 - е, а также при < е

H{x,y)>v,(19.4)

при любом [О, 1]. в силу соотношений (19.2) и (19.3) такое б найти можно. Заметим, что ввиду утверждения из п. 15.11, справедливого, очевидно, и для бесконечных игр, с убыванием б и б < е неравенство (19.4) остается в силе. Мы имеем

Н{х,у%) H{Xly:) = v,<H(Xly)(19.5)

при xG [О, 1] идЕ [б, 1 - б]. Очевидно (см. п. 15.11 гл.1), есть неубывающая функция 6. Следовательно, при достаточно малом е двойное неравенство (19.5) остается в силе и при у G (О, б) U (1 - е, 1), т.е. (Х*,у*) G G (Г).

Пусть, наоборот, (X* У*) (Т). Тогда по теореме о независимости от посторонних альтернатив (см. п. 5.5 гл. 1) будет и (Х*, у*) G (Ц) для всех € у*И€ I - у*, □



19.3. Из доказанной теоремы следует, что если в условиях игры из § 18 взять а = 0 или b = I, то эти же значения можно придать параметрам игры и в ее описываемом формулами (18.1)-(18.3) решении: при а = 0 будет

а =

1+Ь I1+Ь

при Ь=1

11 -а

а при д = О и й = 1

Таким образом, в последней, наименее благоприятной для проектировщика игре наименее благоприятное для него положение наступает в том случае, когда вся потребность сосредоточена в одном из пунктов, причем равновероятно в каждом пункте. При этом одно из предприятий будет вынуждено простаивать, а другое - работать с двойной перегрузкой.

§ 20*. ВЫПУКЛАЯ РАЗРЬЮНАЯ ФУНКЦИЯ ВЫИГРЫША

20.1. Пусть в вьшуклой игре Г на единичном квадрате функции Я (х, •) : y->R не обязательно непрерывны. Тогда, как это бьшо установлено в п. 12.5, точками разрыва каждой из этих функций могут быть разве лишь точки О или 1 (в которых эти функции должны быть полунепрерьгоны сверху).

Рассмотрим вспомогательную игру Г = < х, у. Я), где

Н{х,у)если 7(0,1),

lim Я(х,у„), если у = О или у = 1.

20.2. Игра Г, очевидно, является вьшуклой и непрерывной. Согласно сказанному в п. 13.2 игрок 2 имеет в ней чистые оптимальные стратегии, составляющие некоторый сегмент [у*, J* ]. Для всех точек у* этого сегмента должно быть

max Я (л:, у*) = min тахЯ(х,>) =v .

Далее для простоты анализа мы будем прехшолагать, что сегмент [у*, >*] состоит из единственной точки у*.

Рассмотрим возможности, которые нам при этом могут представиться: а) у*G (О, 1). В этом случае в игре Г игрок 1 имеет оптимальную стратегию X* (являющуюся смесью не более чем двух чистых). По определению седловой точки игры Г должно быть

Н(х,у*)Н{Х\у*)Н{Х\у) для всех XG [0,1] иу G [0,1].

Переходя от функции Я к функции Я согласно формуле (20.1), мы получаем

Н{х,у*) S Н{Х\у*) Н{Х\у) для всех xG [О, 1] и у G (О, 1). 134

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [ 44 ] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]