назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [ 43 ] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


43

ki(l-y*) =к2У*,т.е. при кг

У* =

(17.2)

Таким образом, найденное является единстьенной (чистой) оптимальной стратегией игрока 2. Мы видим, что оптимальная стратегия игрока 2 состоит в распределении имеющихся средств между рьшками и притом пропорционально важности рьшков.

17.4,Значение игры Г вычисляется без труда:

V =тахН{х,у*)=.

17.5.Для нахождения оптимальной стратегии игрока 1 определим его существенные стратегии, пользуясь уравнением (16.2). Случаи х нх<у* будем рассматривать порознь.

Для X д»* уравнение (16.2) принимает вид

к\ \ kik2

\ 1 +к2 j

ki iki

откуда x=l.

Если же x>*, то уравнение (12.1) превращается в соотношение

\ ki +к2 J кг +кг

откуда X = 0.

Таким образом, существенными стратегиями игрока 1 оказьшаются в данном случае Хг = О и лгг = 1. так что игрок 1 имеет в данной игре единственную оптимальную стратегию, являющуюся смесью двух чистых.

Находим теперь нужные значения частных производных:

ЪН(0,у) Ьу

у = у*

у = у*

= к2>0.

У = У*

кг(1 -у)

= -кг < 0.

у = у*

Уравнение (16.3) для данной игры приобретает вид aki + (1 - а) (-кг) = = О, откуда

а =-:- .

ki +к2

Таким образом, оптимальная стратегия игрока 1 состоит в концентрации всех его средств на одном из рынков, причем вероятность выбора рынка обратно пропорциональна его важности. Этот результат не должен удивлять: чем важнее рьшок, тем больше средств вложит противник в его сохранение и тем меньше своб©1щых средств останется на нем после вытеснения противника, т.е. тем менее значимой будет победа над ним.

9.Н.Н. Воробьев



§ 18. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЮИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ В УСЛОВИЯХ ЧАСТИЧНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

18.1. Пусть суммарная производственная мощность двух однотипных предприятий, намеченных к строительству в двух различных пунктах, фиксирована (положим ее ддя определенности равной единице) и равна суммарной потребности в производимой предприятиями продукции в этих двух пунктах. Точная потребность в каждом пункте неизвестна (она может выясниться лишь после пуска проектируемых предприятий). Если производственная мощность в некотором п>икте равна у, а потребность в этом пункте равна х, то напряженность работы предприятия можно измерять отношением х/у. Цель распределения производственных мощностей естественно видеть в минимизации наибольшей напряженности работы обоих предприятий, т.е. в минимизации максимума

1-уГ

(18.1)

Этой же задаче можно дать иную содержательную интерпретацию, понимая отношение х/у как время работы предприятия производственной мощности у до удовлетворения потребности х. Цель распределения производственных мощностей будет тогда состоять в минимизации времени полного (т.е. в обоих пунктах) удовлетворешя потребностей.

Таким образом, поставленную задачу можно описать игрой, в которой игрок 1 ("природа", "обстоятельства") выбирает значение х, игрок 2 (проектировщик) - значение у, а значение функции вьшгрыша Я(х, у) (в данном случае она описьшает потери проектировщика) равно (18.1).

Если проектировщик решает эту задачу, точно зная истинное распределение суммарной потребности (т.е. зная значение х), то он, очевидно, примет х = у, и каждое из предприятий будет, с одной стороны, загружено полностью, а с другой - работать без перегрузки. Естественно предположить, что если проектировщик располагает частичной информацией о распределении потребностей, то при оптимальных действиях он может добиться перегрузки тем меньшей, чем уже та область, в которой заведомо находятся возможные распределения.

Пусть проектировщику известно, что потребности в первом пункте заключены в сегменте [а, Ь], где О < b < 1. Мы имеем дело с игрой, в которой множество стратегий игрока 1 есть сегмент [йг, . Из соображений здравого смысла ясно, что проектируемая мощность предприятия, создаваемого в первом пункте, не должна быть меньше, чем а (иначе оно всегда будет запаздьшать с окончанием своей доли работы), и (по симметричным причинам) не должна превосходить Ь. Следовательно, мы можем считать, что множество стратегий игрока 2 в этой игре есть также сегмент [а, Ь], и мы имеем дело с игрой на квадрате [а, Ь] X [а, Ь]. В соответствии со сказанным вн. 13.1 эту игру можно решать по той же схеме, что и игры на единичном квадрате.

Можно считать, что разность b - а составляет потери .в эффективности функционирования рассматриваемой системы, происходящие от неполноты знания условий ее работы. Отсюда следует практи-



ческий вывод: неполнота информации об условиях работы системы влечет экономические потери, которые в принципе поддаются расчету, хотя и не всегда так просто, как в рассматриваемом случае. Если затраты на получение надлежащей информации меньше, чем потери от ее отсутствия, то информацию следует приобретать. В противном случае этой информацией лучше пренебречь .

Согласно (18.1) функция выигрыша в этой игре имеет вид

Н(х,у) = maxj , -\ .(18.2)

\У 1-У)

18.2. Данная игра является выпуклой. В самом деле, фиксируем некоторое значение х = Хо. Тогда

1-Хо

Рис. 2.7

Я(Хо,3) = max

у У1-7

График этой функции представляет собой пару дуг гипербол (рис. 2.7). При приближении Xq к а или b одна из этих дуг гипербол стягивается в точку. Таким образом, Я(хо, у) является выпуклой функцией, и сама рассматриваемая игра - вьшуклая (и притом - строго вьшуклая).

18.3. Для нахождения оптимальной стратегии игрока 2, которая, как известно (см. § 14), является в данном случае единственной, рассмотрим минимум выражения

X 1 -X

max Н(х, у) = max

a<x<ba<x<b

или, пользуясь тем, что две одноименные операции экстремизации (в отличие от разноименных - максимизации и минимизации) можно выполнять в любом порядке,

max Н(х, у) =

= max

1 -X

axb у aS,xb I-У

= max (- У

Единственной оптимальной стратегией игрока 2 будет та его чистая стратегия, на которой достигается минимум

( b I -а

min max Н(х,у)= min max{-, -

a< y<b axbayb[y \-у

Очевидно, этот минимум достигается на j*, являющемся корнем уравнения Ь I-а

У -У

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [ 43 ] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]