назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [ 42 ] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


42

2°. Из соотношения

Up = min max Н{х, у)(16.1)

у X

нахождение у* как значения переменного, на котором достигается справа минимум, и нахождение как значения этого минимума. 3°. Нахождение решений уравнения

Vr=H(x,y*)(16.2)

(к этому моменту стратегия у* и значение игры Up уже будут найдены) и составление пары л: их" его решений, для которых

Ш{х\у)

<0.

у =у

4°. Для каждой найденной пары х и х" составление уравнения

+ (1 -а)

У=У*

ЪН{х\у) Ъу

(16.3)

у =У

и нахождений его решений а *. Решение этого уравнения либо единственно,

либо - любая точка сегмента [0,1].

16.2. Пример. Игра на единичном квадрате с функцией вьшгрыша

Н{х,у) = {х-у)\(16.4)

1°. Здесь дН(х, у)/ду = 2 > О, так что игра с функцией вьшгрыша (16.4) является строго вьшуклой.

2°. Значение этой игры находится по формуле (16.1):

V = mm max(x ~ уУ. У X

Пусть Vо - фиксированная стратегия игрока 2. Выражение {х-у)" достигает своего максимума при х = 1, если у S 1/2, и при х = 0, если Уо 1 /2. Иными словами,

ли У 1/2,

тах(х -уУ =

(1 ~у). у,

есяи

Значит,

У а. 1/2.

и = min { min (1 - уУ, min 0<з;1/2 1/2<уй

Здесь первый из внутренних минимумов достигается при у = 1/2, а второй - также при / = 1/2. Каждый из этих минимумов принимает значение 1/4. Поэтому = = min{l/4, 1/4} = 1/4, и значение игры найдено. При этом единственной чистой оптимальной стратегией игрока 2 оказьшается j * = 1/2.

3°. Переходим к определению оптимальных стратегий игрока 1. Поскольку здесь О < >*= 1/2 < 1, по классификации случаев из теоремы п. 14.5 мы имеем дело со случаем 3). Будем искать существенные чистые стратегии игрока 1. Для них вьшишем уравнение (12.1), которое в данном случае вьеглядит так: (х - 1/2) =1/4. Решая это уравнение, мы находим две существенные стратегии игрока 1: х -0,х =1.

Следовательно, оптимальная стратегия игрока 1 должна быть вероятностной смесью его чистых стратегий О и 1.

Дифференцируя функцию вьшгрыша по у, мы имеем

= 1 >0,

У-1/2

Нх, -уГ ъу

= -1<0

у = \12



(как и следовало ожидать из теоретических соображений, установленных в § 14, значения этих частных производных оказьшаются разных знаков).

4°. Составляем уравнение (16.3). В данном случае оно имеет вид а • 1 + (1 -- а) (-1) = О, т.е. 2а - 1 =0, откуда а* = 1/2. Таким образом, оптимальная стратегая игрока 1 состоит в выборе им своих чистых стратегий О и 1 с вероятностью 1/2 каждая.

16.3. Пример. Игра Г на единичном квадрате имеет функцию выигрыша Н(х, у)=у - Зху + .

1°. Здесь ЬН(х,у)1ду =ву > О, так что игра с функцией вьшгрыша (14.2) строго вьшукла, за исключением точки = 0.

2°. Согласно (16.1) Up = min шах(з - Зху+х). Далее, при любом [О, 1 У X

дН(х.у)1Ъх = Зх -Зу.

Таким образом, при х у/У функция вьшгрыша по л: убьшает, а при л: > \fy возрастает. Следовательно, каково бы ни бьшо у, максимальное значение функции вьшгрыша достигается либо при х = О, либо при л: = 1. Поэтому

max {у - Зху +х) =тах{у, у - 3> + 1}.

Очевидно, при > < 1/3 этот максимум достигается при л: = 1, а для > > 1/3 - при X = 0. Итак,

У -Зу + 1, если Г 1/3,

тахЯ(х >)=<

[ууесли у 1/3.

Значит,

и = min { min (y-3y + l}, min У}; 0<y£l/31/3<у<,1

вычисляя внутренние максимумы, мы находим, что каждый из них достигается при

у = 1/3 и равен 1/27. При этом > * = 1/3.

3°. Для определения существенных чистых стратегий игрока 1 составим уравнение = Я(х, у *), т.е. 1121 =1121 - хл-ху откуда Xj = О, Xj =1 (третий корень, равный -1,

очевидно, не может быть стратегией в рассматриваемой игре). Наконец,

Ъу Ыу-Зул-У) = 1/3 > О,-

уЦЪУ

= 1/3-3 = -8/3 <0. У=1/3

4°. Параметр а находится из уравнения а • 1/3 + (1 - а) (-8/3)=О, откуда а* = 8/9. Значит, оптимальная стратегия игрока 1 состоит в выборе х = О с вероятностью 8/9 и x = 1 с вероятностью 1/9.

§ 17. БОРЬБА ЗА РЫНКИ

17.1. Рассмотрим игру Г на единичном квадрате со следующей функцией вьшгрыша:

i(x-y), если х>у, Н(х,у)=\(17.1)

[к2(у-х), если ху,

где ki > О, к2> 0.

Эту игру можно интерпретировать как борьбу двух фирм за рьшки сбыта в условиях капиталистической экономики.

Пусть одна из фирм (игрок 1) пытается вытеснить другую фирму (игрок 2), имеющую два рьшка сбыта, с охщого из этих рынков. Общая сумма средств, выделяемых игроком 1 на эту цель, принимается травной единице.



Стратегии игрока I состоят в распределении этих средств между двумя рьшками. Если на первый рынок направляется сумма х, то на второй направляется оставшаяся сумма 1 - х. Пусть игрок 2 для удержания рынков также располагает единичной суммой средств, и его стратегия будет состоять в выделении суммы у на первый рынок и 1 -у на второй.

Будем считать, что игрок 1, добившись превосходства в средствах на одном из рынков (очевиддо, на обоих рынках сразу он такого превосходства одновременно добиться не может), вытесняет своего противника

Рис. 2.6

С ЭТОГО рынка и получает выигрыш, равный избытку своих средств, который берется с коэффициентом, характеризующим важность рынка (мы принимаем, что этот коэффициент равен ki для первого рынка и к2 для второго).

Очевидно, в формальной записи функция вьшгрыша данной игры и задае тся соотношением (17.1).

17.2.Покажем, что рассматриваемая игра является вьшуклой. Фиксируем для этого некоторое х = Хо. График зависимости Н(хо,у) от у представляет собой пару прямолинейных отрезков, как это изображено на рис. 2.5 (в случае, если х = Хо или Xq = 1, один из этих отрезков стягивается в точку). Очевидно, что при любомХо Я(хо, •) является вьшуклой функцией от у, так что игра с функцией вьшгрыша Я вьшукла.

17.3.Мы имеем

шахЯ(х, у) = шах { шахki(х - у), шах к2(у - х)} =

XXX у

= max(/:i(I -у),к2У}. Поэтому

V = min max Я(х, у) = у X

= min max{ki(i -у),к2(у)}.

График функции imx{ki (I ~у), к2у) выделен на рис. 2.6 жирной ломаной. Первый член под знаком максимума с ростом у убьшает, а второй возрастает. Поэтому при малых значениях у максимум достигается на первом члене, а при больших у - ш втором. Следовательно, минимальное значение этот максимум принимает при таком у*, для которого

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [ 42 ] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]