игру с матрицами выигрышей

Во многих популярных сочинениях по теории игр эту игру интерпретируют как одновременный выбор супругами совместного вечернего развлечения: посещения соревнований по боксу или же балета, причем в посещении бокса муж заинтересован в большей степени, чем жена, при посещении балета наблюдается обратная картина, а в случае непреодоленного разногласия вечер вообще оказьгоается испорченным. Ввиду такой интерпретации описанная игра часто называется "семейным спором".

2.7. Морра и лиц. Игрой "морра" называется игра любого числа лиц, в которой все участники одновременно показывают ("выбрасывают") по некоторому числу пальцев, делая это молча ("немая морра") или же называя по некоторому числу каждый ("громкая морра"). Ситуацией, очевидно, является здесь система чисел показанных пальцев, а в случае-"громкой морры", кроме того, система названных чисел. Каждой ситуации приписываются выигрыши, которые игроки в условиях этой ситуации получают (из "банка"). Далее рассматривается следующий конкретный вариант "немой морры".

Пусть в игре участвует п игроков, каждый из которых показьгоает один или два пальца. Каждый игрок выигрывает показанное им число, если все остальные игроки показали другое число; он выигрывает нуль во всех остальных случаях.

Очевидно, в этой игре 2 ситуаций. Каждый игрок получает положительные выигрыши в двух из них.

§ 3. ОПТИМАЛЬНОСТЬ

3.1.Изучение конфликтов, а в соответствии с этим - игр в только что определенном смысле слова, можно проводить с различных точек зрения: дескриптивной, состоящей в выяснении того, какие ситуации фактически сюхадьюаются (или могут складываться) в тех или иных конфликтах; норхмативной, устанавливающей, какое поведение игроков следует считать оптимальным (разумным, целесообразным); конструктивной, указывающей, как осуществлять нужные (например, оптимальные) стратегии или ситуации, и прогностической, занимающейся предсказанием фактического исхода конфликта.

Теория игр как математическая дисциплина в ее современном состоянии занимается нормативным изучением игр.

Основными задачами теории игр можно считать поэтому следующие три: выработку принципов оптимальности, установление их реализуемости (т.е. установление существования оптимальных в этом смысле ситуаций) и нахождение их реализаций.

3.2.Различные теоретико-игровые концепции оптимальности формально отражают те или иные содержательные представления об оптимальности, являясь их математическими моделями. Поэтому понятия оптимальности в теории игр и оптимального решения игры не являются ошюзначными, ап-12

риорными, абсолютными. Вместе с тем эти понятия являются объективными, т.е. каждый вариант оптимальности поддается точному описанию при помощи недвусмысленных математических формулировок.

3.3.Основными содержательными чертами оптимальности в применении к исходу или к множеству исходов конфликта можно считать интуитивные представления овы годности, устойчивости и справедливости.

В простейшем случае, когда в игре имеется лишь один игрок, выгодность можно понимать, пожалуй, единственным образом, а именно как максимизацию значения функции выигрыша по всему множеству стратегий-ситуаций . При этом под максимумом функции Я: х R понимается такое значение переменной х G х, что при любом у G х будет Я (у) <Н (х),

Если такой максимум функции отсутствует (т.е. максимальное значение не достигается), то, как известно, для любой ограниченной функции существует ее супремум, к которому можно подойти сколь угодно близко (ближе, чем на произвольное е > 0).

3.4.Очевидно, описанные вьппе точки максимума обладают и свойством устойчивости: отклонение игрока от своей наиболее выгодной, максимизирующей стратегии может разве лишь уменьшить его выигрыш. Формально это выглядит как объявление максимумами фуньсцииЯ: x->R таких значений переменного д: G х, что ни для какого другого у Gxue будет Н(х)<Н(у).

В случае, когда приходится говорить не о максимуме, а лишь о супремуме функции, соответствующие стратегии-ситуации оказываются б-устой-чивыми (в том смысле, что отклонение игрока от такой ситуации хотя и может увеличивать выигрыш игрока, но не более чем на € > 0).

3.5.Иногда представляется целесообразным говорить не об отдельных значениях переменного, максимизирующих данную функцию Я: x->R, а о мно же с ТВ е всех таких значений в целом. Это множество будем обозначать через j(H),

Понимая оптимальность как устойчивость, можно дать определение множеству хЩ) всех максимумов функции Я как такому множеству значений переменного х, которое обладает следующими двумя свойствами.

Внутренняя устойчивость: npHX,xG х() не может быть ни Я (х) < <Я(У),ниЯ(;с)<Я(х).

Внешняя устойчивость: по любому у ф "8 х (Я ) найдется такое х G (Я), чтоЯ(у) <Н{х).

Нетрудно проверить, что несмотря на некоторую вычурность такая формулировка определяет максимумы функции эквивалентно определениям из пи. 3.3 и 3.4.

3.6.Обратим внимание на следующие тривиальные свойства операции максимизации :

1*. Независимость от посторонних альтернатив*): еслиуСх, тоуП ёх(Н)С у(Я).

*) Независимость от посторонних альтернатив является важным свойством разного рода оптимумов и выступает в довольно различных; формах. Здесь и далее мы имеем дело лишь с одним из вариантов этого свойства.

2°. Конфинальность: если у Сх и по каждому xGx найдется такое G Y, что Я (х) Я (у), то у(Я)С х(Я).

Далее мы увидим, что эти чрезвычайно простые соображения остаются в силе для многих теоретико41гровых принципов оптимальности и оказываются важными источниками приемов нахождения их реализаций.

3.7.Заметим, наконец, что говорить в случае одного игрока о справедливости просто не имеет смысла: формально для единственного участника игры справеделивой будет любая ситуация.

3.8.До сих пор мы говорили о тех детерминированных случаях, когда выигрыш игрока однозначно зависит от выбранной им стратегии-ситуации. Вместе с тем распространено и представляет интерес явление, когда выигрыш Н (х) зависит не только от стратегиичитуации х, но и от разного рода случайных обстоятельств, являясь тем самым случайной величиной.

Вопрос о численной оценке случайного выигрыша представляется достаточно нетривиальным И допускает различные ответы. Мы не будем глубоко вдаваться в его анализ и примем в качестве такой оценки математическое ожидание случайного вьшгрыша. Такой подход представляется естественным с точки зрения -закона больших чисел: математическое ожидание выигрыша при повторных реализациях ситуации можно понимать как средний ожидаемый выигрыш на одну реализацию.

3.9.Пусть теперь игра нетривиальна, т.е. в ней участвует более одного игрока. Тогда содержательные представления о выгодности и устойчивости, не говоря уже о справедливости, могут быть формализованы весьма различным образом.

Можно, например, оптимальной ситуацией считать такую, на которой одновременно достигают своих максимумов функции вьшгрыша каждого из игроков.

Условие оптимальности в этом смысле для ситуации л:*в игре Г из (1.1) формально можно записать как

Hi(x)<Hi(x*) для любых i G I nxGx.(3.1)

Выгодность такой ситуации ясна. Ее устойчивость также очевидна: любое отклонение от нее игроком или группой игроков может привести разве лишь к уменьшению вьшгрьппей всех участников игры (и в том числе - отклонившихся).

Справедливость этой ситуации вытекает из симметричности вхождения всех игроков в условие (3.1). Разумеется, такая справедливость неполна, так как в ситуации х * игроки могут иметь различные выигрыши. Говоря точнее, мера справедливости ситуации в этом и в подобных случаях отражает меру справедливости самой игры: если правила игры таковы, что они предоставляют одному игроку большие выигрыши, чем другому, то никакая справедливость внутри игры не скомпенсирует ущемленного положения второго игрока. Его стремление к справедливости должно поэтому заключаться не в каком-либо оптимальном поведении в рамках правил игры, а в изменении самих этих правил. Как известно, это обстоятельство имеет большое идеологическое значение, но его детальное рассмотрение выходит за пределы нашего предмета.