назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [ 37 ] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


37

откуда Поэтому

= 2 Н{х,у)т-е = Н(х, П)-€.

Точно также устанавливается, что при близкой к у стратегии =yj G

Н{Х,,у,)<,Н(Х,,у) + е. Таким образом, подставляя в (8.1), мы получаем, что Я(х, Y)-eH{X,, Y,)H(X„y) + е

при всехxGx и J G у,а это и требовалось. □

8.2.Следствие. Всякая антагонистическая вполне ограниченная игра имеет значение.

Для доказательства достаточно к установленному в последней теореме результату присоединить утверждение части 2) теоремы п. 3.1.

8.3.Обратим внимание на то, что нахождение еюптимальных стратегий во вполне ограниченной игре Г распадается на два этапа:

1)построение в множествах стратегий игроков в игре Г б-сетей из (8.1) и составление соответств)аощей матричной игры ;

2)решение матричной игры .

Осуществление первого этапа непосредственно не связано с теоретико-игровыми рассуждениями и в сущности относится к теории функций. Теоретико-игровой здесь, пожалзш, следует считать разве лишь саму возможность построения таких е-сетей, а по ним - матричной игры Г.

Проведение второго этапа может сопровождаться разве лишь техническими трудностями, связанными с размерами получающихся матричных игр.

Таким образом, приближенное (и притом сколь угодно точное) решение вполне ограниченных игр может быть сведено к (точному) решению той или иной матричной игры.

§ 9*. КОМПАКТНЫЕ ИГРЫ

9.1. Определение. Антагонистическая игра Г = < х,у,Я> называется компактной, если пространства стратегий обоих игроков в естественной метрике компактны. □

Очевидно, в компактной антагонистической игре множество всех ситуаций в описанной в п. 6.4 естественной метрике (топологии) также является компактным.

Так как всякое компактное пространство является вполне ограниченным, каждая компактная игра является вполне ограниченной игрой. Поэтому к компактным играм применимы результаты § 8: в каждой такой



игре игроки имеют при любом б > О бюптимальные стратегии, являющиеся смесями конечного числа чистых.

Известно, что всякая заданная на компакте непрерывная функция принимает свои экстремальные значения. Естественно предполагать, что в случае компактной игры в формулировке теоремы п. 8.1 можно "перейти к пределу" и установить существование в таких играх оптимальных стратегий игроков. Это предположение подтверж;дастся, хотя и не вполне тривиальным образом.

Продолжим рассуждения, начатые в п. 4.3.

9.2.Проведем необходимые вспомогательные построения.

Пусть Z компактное пространство, г (z) оалгебра всех борелевских подмножеств, т.е. такое семейство подмножеств г. которое

а)содержит пес открытые подмножества г;

б)вместе с любыми подмножествами z , и z , содержит их разность Zj\Zj;

в)вместе с любой счетной последовательностью подмножеств z,z,... содержит их об1ЛДИпснис и Z,j.

Каждое подмножество из (z) будет далее называться измеримым. Мы будем рассматривать вероятностные меры па npocTjiaHCTBe z, понимаемые как функции ц : (z) - -R, обладаюндие следуюпшми свойствами:

а)счетная аддитивность. ;ц1я любых, попарно нспсресекаю1дихся подмножеств Z ,, Zj, . . . из (z) имеет место

М( и Z,,)- г д{г„). /1 = 1и-\

б)неотрицательность: для любого ъъ (z) должно быть д (z) 0;

в)нормированносты (z) = 1.

9.3.Пусть /: ZR - непрерывная функция, а д - вероятносгиая мера на z. Тогда все множества вида (z: /(z) > а} являются открытыми, а все множества вида{г: а< f{z) /7}, во всяком случае, измеримыми, и на них поэтому определены значения меры д.

Рассмотрим всевозможные разбиения сегмента {jnf/(z): sup/(z)]:

inf /(z) = Го < Cj < . . . < c„ = sup /(z).

и соответствующие им суммы п

s„ = Г Ck , д ( {z: гд , < f(z) < Ck }),

Ck({z: Ck 1 <f{z)SCk}). fc = l

Если II a г/(1 -♦П при всех Л - 1, . . . , г/, ги суммы и 5,, имеют, и при-

том один и тот же, предел, который называется интегралом {Лебега - Стилтьеса) от функции / номере ц т множестве z. Эгот интеграл обозначается через (гХ/м(г).

В наших рассуждениях этот интехрал будет иазывпгъся математическим ожиданием функции / от случайной вс1шчины z, распределенной в соотаетствии с мерой ц.

9.4. Возвращаясь к теорети ко-игровой терминологии, мы будем вероятностные меры на М1южестаах стратегаи игроков назьюать их смешанными стратегиями, а интегралы (математические ож1!да1Шя) fJI(x, y)dX{x) и

/Я(х, y)dY(}) понимать соответственно как выигрыши Я(Х, >) иЯ(х, У). У



Множество всех смешанных стратегий игроков 1 и 2 в антагонистической игре Г = < X, у, Я) будем, как и в гл. 1, обозначать через X и Y. 9.5. Справедливо следующее утверждеш1е.

Лемма. Если функция И: xXy-R непрерывна по х на х й по у на у, го интегралы 11(Х, у) и 11(х, Y) являются соответственно непрерывными функциями от у и отх.

Доказательство. Функ1ЩяЯ(А-, • ), непрерьгоная на компакте х, должна быть, как известно, и равномерно непрерывна на нем.

Возьмем произвольное б > О и найдем в соотвествии с равномерной непрерывностью функции Я такое 6 > О, что

Я(л,;1)"/ф./2)1<е

при любых X, У1 и у2, ecjm только I Vi - 1 < • Тогда

11[{Х,у,) Я(Х,у2 )и I /Я(х,Уг)с1Х(х) - fH(x,у2)dX(x)\ =

= l/( (.v.>.)" (-v.V2)ywk

<!\И{х,у,) Ilix.y,)\dX{x)<efdXix)-e.

Следовательно, функция Н{Х,у) непрерывна по j.

Аналогично доказьгоается непрерьюность функции Н{х, У) по х □ Из сказанного следует, что к функциям Я(х, У) и Я(Х, у) применимы

рассуждения п. 9.2, так что можно говорить об интегралах и от них:

/Я(х, Y)dX{x) =ffH{x,y)dYiv)dX(x),(9.1)

XX у

fH{X,y)dYiy)=ffIfix,y)dX(y)dY(x),(9.2)

Появление этих двух повторных интегралов дает повод говорить о двойном интеграле

/ fHix,y)d(XXY){x,y),(9.3)

X X у

где X X У ~ мера на произведении х X у, проекщш которой X и У на х и у независимы. Последний оборот, однако, страдает некоторой неточностью: мы уже видели, что мера задается не на бесструктурном множестве, а на измеримом пространстве, т.е. значения меры определены на составляющих некоторую (J-алгебру измеримых множествах. В данном случае в качестве такой а-алгебры на х X у следует взять наимсьшшую борелевскую а-алгеб-ру S (х X у), содержащую все произведения вида х X у, где х G 53 (х) и у G SS (у). Но тогдд, чтобы реально говорить о двойном интеграле (9.3), необходимо, чтобы функция от двух переменных Я( •, •): х X у -> R бьша измеримой в смысле S (х X у), т.е. чтобы при любом X Е R бьшо

{(х, у): Я(х,;;) > X} G 53(х X у),

Это требование не является тривиальным, т.е. не обязано выполняться само собой, а соблюдается при тех или иных специальных предположениях. 8Л1.Н. Воробьев113

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [ 37 ] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]