Вполне ограниченные пространства являются весьма распространенными. Например, как нетрудно проверить, любое ограниченное подмножество конечномерного евклидова пространства является в евклидовой метрике вполне ограниченным. Как подмножество объемлющего евклидова пространства, оно, очевидно, является предкомпактным.

7.2*. Поучителен следующий критерий полной ограниченности пространства. Для его рассмотрения напомним полезное определение.

Оп ределение. Последовательность элементов z j, ,... метрического пространства Z называется сходящейся в себе, если по любому е > О найдется такое N, что при т,п> N имеет место р (z, z) < е.

Теорема. Дая того чтобы метрическое пространство z было вполне ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы из любой последовательности его элементов можно было выбрать сходящуюся в себе подпоследовательность.

Доказательство. Необходимость. Возьмем последовательность Zj, Zj, .. . элементов z и произвольное е > О и построим в z конечную е/2-сетьВвиду ее конечности в ней найдется такая точка z, что вблизи нее (а именно, на расстоянии, не превосходящем е/2) окажется бесконечно много элементов последовательности Zj, Zj,. .. Пусть это будут элементы z, kj-»• • • Тогда для любых т,п> N будет

p{Zj ,Ze)<e/2, p(z , z) < е/2, шп

и по неравенству треугольника мы получаем

P(z,,z,)<e.(7.1)

Таким образом, по любому е > О можно из заданной последовательности вьщелить соответствующую этому е подпоследовательность, для которой имеет место (7.1). Чтобы получить подпоследовательность, которая подходила бы к любому е > О, воспользуемся приемом, известным под названием диагонального процесса.

Пусть ej > 62 > ... > е„ > .. . - сходящаяся к нулю последовательность положи-(0) (О)

тельных чисел, а Zj , 2 , • • • - заданная последовательность элементов пространства Z. Согласно предыдущему в ней можно вьщелить такую подпоследовательность Zi\z!\..., что, начиная с некоторого места, будет p(z\ z) < е. Но, применяя то же рассуждение к последовательности z\z\ ... и числу е, мы можем вьщелить в- ней такую подпоследовательность zp\ z!\ ... , что, начиная с некоторого места, будет p(z\ z) < е.

Продолжая этот процесс, мы получаем построение бесконечной серии последовательностей элементов z:

Д2) (2)

-1 » z- ,

(7.2)

в которой каждая является подпоследователы1остью предьщущей и для каждого Л: = 1, 2,..., начиная с некоторого места, будет

p(zJ\zP)<ek.(7.3)

Составим теперь по (7.2) ("диагональную") последовательность z,\ Zj ...

zj\ ... Эта подпоследовательность исходной последсвательности является искомой.

Действительно, по любому е > О найдется такое к, что ej < е, а по этому к - такое Л, что при т, п > N вьшолняется (7.3). Но, начиная со своего к-то члена, эта диаго-108

нальная последовательность оказывается подпоследовательностью fc4t последовательности из (7.2). Значит, найдется такое 7V, что при т,п> N будет

< ex. < е.

Достаточность. Пусть пространство z не является вполне ограниченным, т.е. при некотором е > О в нем не найдется конечной е-сети. Будем индуктивно строить последовательность элементов z следующим образом. Возьмем G z произвольно. Пусть элементы , ..., z уже построены. Обозначим через z. объединение их е-ок-рестностей; ъФъ (ибо иначе точки Zj, . .., z составили бы конечную е-сеть в z), и мы можем взять z-j G 2:\ z.. В построенной последовательности z , z 2,... каждый член отстоит от любого из остальных более чем на е, так что никакой сходящейся в себе подпоследовательности из нее выделить не удастся. □

Доказанная теорема выявляет однотипность понятия полной ограниченности пространства и его компактности: в компактном пространстве из любой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, а во вполне ограниченном пространстве - лишь сходящуюся в себе подпоследовательность. Очевидно, всякое компактное пространство является вполне ограниченным.

7.3* Из теоремы предьщущего пункта немедленно вытекает удобный признак того, что метрическое пространство z не является вполне ограниченным. Именно, это будет так, если найдется такое б > О и такая бесконечная последовательность элементов z j, z j,... пространства z с метрикой р, что р (z-, 2.) > е при любых различных / и к.

В частности, не являются вполне ограниченными пространства стратегий игроков в игре из примера 3 в п. 6.3.

7.4. Определение. Антагонистическая игра Г = < х, у, Я> называется вполне ограниченной, если пространства стратегий обоих игроков в естественной метрике вполне ограничены. □

♦Оказьюается, что для полной ограниченности антагонистической игры достаточно потребовать полной ограниченности в естественной метрике пространства стратегий хотя бы одного из игроков.

Теорема. Если в игре Г = <х,у,Я> пространство стратегий одного из игроков вполне ограничено в естественной метрике, то пространство стратегий другого игрока также вполне ограничено в своей естественной метрике.

Доказательство. Пусть х в естественной метрике pi вполне ограничено. Возьмем произвольное е>0 и найдем конечную б/З-сетьх! в X. Поставим теперь в тоответствие каждому yGy w-мерный вектор

(у) = (Я(х1,7),...,Я(х,„,)).

Ввиду ограниченности функции вьшгрыша множество всех таких векторов образует ограниченное подмножество т-мерного евклидова пространства, и поэтому вполне ограничено в евклидовой метрике р. Следовательно, в этом множестве существует конечная е/З-сетьв метрике р-. Пусть

У1.....У„(7.4)

- те стратегии игрока 2, которым соответствуют векторы, составляющие эту сеть. Покажем, что они составляют е-сеть у в естественной метрике рг.

Возьмем для этого произвольную стратегию у игрока 2. По условию найдется такое у из списка (7.4), что

Ре((у) СУ/))<е/3.

р£(<РО),<РО/)) =

1 = 1I

Значит, и

p\H{Xi,y)-H{Xi,yj)\<el3,

Поставим в соответствие каждому л: G х то л:/ из б/З-сети, для которого Pi(x, X,) < б/3, и обозначим его через . Мы будем иметь

P2(y.yj) = sup I Я(х, - Я(х, yj) I = sup I Я(х, - Я(х„ + Я(х,, у) -- Н{х,,у)+ Н{х,,у,) - Н(х, у,)I < sup I Я(х,у)~Н{х„у)\ +

+ sup I Я(х„ >) - Н(х,, yf) I + sup I Я(Хе, у л - Я(Х, J,) I

<б/3+6/3+6/3 =6.

Таким образом, по любому б > О в пространстве у построена конечная 6-сеть. Следовательно, это пространство является вполне ограниченным. □

§ 8. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ИГРАХ

8.1. Вполне ограниченные антагонистические игры оказываются с точки зрения принципа максимина в некотором смысле близкими к разрешимым.

Теорема. Если антагонистическая игра Г = < х, у, Я > является вполне ограниченной, то при любом е > О в ней существуют е-оптимальные смешанные стратегии с конечным спектром.

Доказательство. Возьмем произвольное б>О и составим е-сети

Хе= {xi,...,x}, Уе ={у1,...,Уп}(8.1)

в соответствуюищх естественных метриках в пространствах х и у. Рассмотрим Xg X Уе-подьп-ру Ге, которая является конечной, т.е. матричной, и поэтому имеет ситуации равновесия в смешанных стратегиях. Пусть (Хе, Yy - одна из них.

Здесь (Ь,...,?т), а = (r?i,. .. ,г?„), причем есть вероятность выбора стратегии хЕх, а г? -вероятность выбора стратегии

Равновесность ситуации (Х, Y) в игре Г означает, что

(Xi, Уе)<Н{Хе. Г,)<Н(Х,,у)щ1явсеххех,иу,еу,.(8.2)

При любом X G X для соответствующей близкой ей стратегиих G х должно бьггь pi (л:, Xg ) < е, т.е.

sup 1Я(х,>;)-Я(х„>;)<6,

и в том числе для всех / = 1,... ,« Я(х,д;,)-Я(х„>,.)<6,