цию Pi: X X x->R :
Pi(xy,X2)= sup \Н(хг,у)-Н(х2уУ)\,(6.1)
Эта функция, как легко убехщться, является симметричной:
Pi(xiyX2)= sup \H{xi,y) -Н{Х2,У)\ =
= sup \Н(Х2уУ) -H{Xi,y)\ = Pi(X2,Xi).
Кроме того, она удовлетворяет неравенству треугольника. Действительно, каковы бы ни были стратегииXi,X2 иХз.
Pl(XuX2)-Pl(X2,Xs) =
= sup \H(xi,y)-H(x2yy)\+sup\H(x2yy)-H(xsyy)\ уу
sup( IHixiy) -Н(х2,у) I + IН(Х2,у) -Н(х,у) I )
sup (I Н(х,, у) - Н(Х2, у) + Н(Х2 , J) - Я(Хз, J) I ) =
= sup Я(л:1,>) -Я(л:з,>) =Pi(xi,X3).
Наконец, функция pi очевидным образом удовлетворяет условию неотрицательности: pi (xi,2) 0.
Правда, из обращения Pi(xi, Х2) в нуль не следует, что стратегии и Х2 совпадают. Однако Pi(xi, Xj) = О означает, чтоЯ(д:1, у) =Н(х2,у) при любом у G у, т.е. что последствия выбора игроком 1 стратегии Хх и стратегии Х2 во всех ситуациях будут одними и теми же. Таким образом, фактически никакой разницы между стратегиями Xi и Х2 нет, и их можно считать не различными стратегиями игрока, а двумя экземплярами одной и той же его стратегии. Если принять, что стратегии х и Х2, для которых Pi(xi, 2) = О, с самого начала отождествлены, то из Pi(xi, Х2) =0 будет следовать Xi = Х2. Таким образом, в условиях указанного предварительного отождествления функция pi удовлетворяет веем условиям расстояния, и ее можно считать, метрикой на пространстве стратегий игрока I.
6.2, Определение. Метрика на пространстве стратегий игрока 1, определяемая по формуле (6.1), при условии отождествления стратегий Xl и Х2, для которых р(хь Х2) =0, называется естественной метрикой в пространстве стратегий игрока 1 (ее называют также внутренней метрикой или метрикой Хелли), □
Аналогично можно ввести естественную метрику (метрику Хелли) на множестве всех стратегий игрока 2. Для этого достаточно положить
Р2(У1.У2)= sup Я(х, ;;1)-Я(х,>2)1
д: G X
И отождествить те стратегии ух и у2 игрока 2, для которых Рг (Vi ,>2) = О-Топология, порожденная естественной метрикой в пространстве стратегий каждого из игроков, назьшается естественной топологией, а также внутренней топологией.
6.3. Естественная метрика может иметь весьма запутанный характер и довольно сильно нарушать наглядное, "внешнее" расположение стратегий. Приведем несколько примеров.
Пример 1. В диагональной игре с матрицей выигрьдпа о, О ... О
О а, ... О
О О ... Си J
мы имеем Pj (/, /) = О, /) = max
В частности, если = . .. = д„ = 1, то естественные расстояния между любыми двумя стратегиями кажцого игрока в этой игре равны единице. Отсюда, между прочим, следует, что стратегии игроков в этой игре невозможно представить, если требовать сохранения расстояний между ними, точками на прямой (а можно - лишь точками в (лг - 1)-мерном пространстве, где они будут являться вершинами (л - 1)-мерного симплекса).
Пример 2.В игре на единичном квадрате с функцией вьшгрыша Н{х, у) = (х-уУ должно быть
р, (Zj ,z) = piz,,z)= max \(t - - (t - z)\ = 0 utu 1
= max \-2tiz -z)+zl -zl\= max \ z - zW z + z - 2t \ = Ogf< 10 1
= Zi -zlmaxdzj +2 I, I Zj h-Zj - 2 },
a так как Oz +z 2, внутренние знаки модулей можно снять:
Pj(Zj,Z2) = Zj -Zj max{(Zj +z)X2-{z +2))} =
{IZi -Z2 I (Zj +Zj), если Zj+Zjl, IZj -Zj l(2-(Zi +Z2)), если Zj +zl. Пример 3. В игре.на единичном квадрате с функцией вьшгрьппа
2х - у, если х>у, Н{х,у)= I О,еслих=у,(6.2)
X - 2у, еслиX <у,
как легко убедиться, также должно быть (Zj,z) = p(Zj, z). Вычислим Py (Xj, ):
P{Xy,x)= max \H{Xy,y) -H{x,y)\. 0 g 1
Будем для определенности предполагать, что х > х. Тогда, разбивая промежуток максимизации [О, 1] на 3 части: [О, JCj ], [Xj, ] и [2, 1] и подставляя для каждой из них свое выражение для функции вьшгрыша Я согласно (6.2), получаем
Pi (л:1, 2) = max { max \{2ху - у) - {2х - y)U 0<Ух,
max { (Xj. - 2у) - (22 -y)U max \{х, - 2у) - {х - 2у)\} = XiySxxyl
= max { max 2x, - 22 I, max x - 22 -y I, 0<y<xXy<y<x
max I - X2 I} . X2yi
Из Xj > x; H у > 0 следует, что выражения, стоящие под знаками модуля, отрицательны, и эти знаки модуля можно снять (с переменой знака на противоположный); кроме того, под первым и третьим внутренними максимумами здесь стоят выражения, 106
не зависящие от у, а второй максимум достигается при у = . Следовательно,
Pi (1 /2) = iax (22 - 21, - , - Xj }, откуда
Pi(i, л:) = -Xj.(6.3)
При < симметрия метрики дает нам Pj (aTj , ) = 3xi - . При Xj = , разумеется, будет pj (Xj. ) = 0.
Как отмечалось, piz,z) = p{z, z),1Л. специальных вычислений расстояний в метрике р не требуется.
По поводу сказанного заметим прежде всего, что функция р (Xj, х) при х =Х2 Ф О не является непрерывной (сходное можно сказать и о функции Pj (У i, )) •
Кроме того, из (6.3) следует, что при х, х > 1/2 имеет место р (Xj, Xj) > 1, так что естественное расстояние между любыми двумя различными стратегиями каждого из игроков из промежутка (1/2,1 ] превосходит единицу (сколь бы близкими "физически" эти стратегии ни были).
6.4. По естественным метрикам Pi ира на пространствах стратегий игроков в антагонистической игре Г = < х, у,Я) можно определить естественную метрику р на пространстве ситуаций, положив, например, для Хх, Х2 G х и
УиУг
P((:i,>i),(x2,>2)) = niax{Pi(xi,X2),p20b>2)}.
Естественная метрика р на пространстве ситуаций антагонистической игры порождает на этом пространстве внутреннюю (естественную) топологию.
Проверка того, что функция р: (х X у) X (х X у) ->R действительно обладает всеми свойствами метрики, не составляет труда и предоставляется читателю.
Теорема. В любой антагонистической игре Г = < х, у. Я) функция выигрыша является непрерывной (и даже равномерно непрерывной) фунтцией ситуации во внутренней топологии на пространстве ситуаций.
Доказательство. Достаточно заметить, что для любой пары ситуаций (xi, Хг) и (ух»У2) в игре Г имеет место неравенство
\Н(Хх.У1)-ЩХ2,У2)\
\Н(Хх.Ух)-Н{Х2.У2)\\Н{Х2,Ух)-Н{Х2.У2)\ р1(Хх,Х2)-р2(УиУ2)2рфСх,Ух)ЛХ2.У2)У □
Таю1м образом, отмеченная в примере 3 п. 6.3 разрьшность естественной метрики по исходной топологии в пространстве стратегий как бы "съедает" первоначальную разрьшность функции вьшгрьппа по этой исходной топологии.
§ 7. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ИГРЫ
7.1.Определение. Метрическое пространство z с метрикой р назьшается вполне ограниченным, если при любом е > О в z найдется конечная е-сеть, т.е. такое конечное множество Ze,4TO для каждого z е z существует такое Zg G Zg, что p(z, z) < 6.
Вполне ограниченные пространства часто назьюаются также условно компактными. Если они являются подмножествами некоторых метрических пространств и имеют в них компактные замьпсания, то они назьюаются предкомпактными, □