назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


32

в частности, полагая х = х, мы получаем

Я(х,Уе)Н(х,у)при любом jH.(3.8)

Аналогично, полагая у = Уе, мы имеем

.ve) " 4 6 Н(Хе, у) при любом X.(3.9)

Неравенства (3.8) и (3.9) дают нам

Н(х, у,) - 4 6 йН(х,, у,) й Я(х„ V) + 4е, а это и требуется.

Наконец, каково бы ни было 6 > О, значения х и v, для которых выполняются неравенства (3.1) и (3.2), можно найти всегда (на основании определения экстремумов). Следовательно, если справедливо равенство (3.3), то мы оказываемся в условиях предыдущего рассуждения, согласно которому у функции должна быть 4б-седловая точка. Нам остается заметить, что 6 > О было взято произвольно. □

3.2. Напомним (ср. пп. 2.5 и 2.6 гл. 1), что смешанные экстремумы

sup mtH{x,y) и inf sup Щх, у)

X уу X

называются соответственно нижним и верхним значениями антагонистической игры Г = <х,у,Я > и обозначаются через и г и Уг- В этой системе терминов ч. 1) теоремы п. 3.1 можно переформулировать следующим образом:

Если (лГе, Уе) - е-ссдловая точка функции Я, то

ЩеУ)11т~ прилюбом у,(3.10)

Щх, у) Vyприлюбом X Ex.(3.11)

Согласно ч. 3) теоремы п. 3.1 условия (3.10) и (3.11) являются достаточными для 4е-оптимальности стратегий х и у.

§ 4. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ

4.1. Уже рассмотрение матричных игр показывает, что существуют антагонистические игры без ситуаций равновесия (и даже без ситуаций е-равновесия при достаточно малых е > 0) в первоначально заданных стратегиях игроков.

Но каждую конечную (матричную) игру можно дополнить до бесконечной игры, например, путем предоставления в распоряжение каждого игрока любого числа доминируемых стратегий (см. § 22 гл. 1). Очевидно, такое расширение множества стратегий игрока в действительности не будет означать расширения его возможностей, и фактическое его поведение в расширенной игре не должно будет отличаться от его поведения в первоначальной игре. Тем самым мы получили сразу достаточное количество примеров бесконечных антагонистических игр, не имеюпщх седловых точек. Имеются и другие источники примеров такого рода.

Таким образом, для реализации в бесконечной антагонистической игре принципа максимина необходимо, как и в случае конечной (матричной) игры, некоторое расширение стратегических возможностей игроков. Для 96



класса матричных игр введение смешанных стратегий игроков, т.е. вероятностных мер на множествах их чистых стратегий, оказалось как необходимым (п. 22.6), так и достаточным (п. 14.2). Для бесконечных антагонистических игр введение аналогичных смешанных стратегий также окажется достаточно плодотворным, хотя, как можно показать, существуют бесконечные антагонистические игры, не имеющие ситуаций равновесия (и даже ситуаций 6-равновесия при достаточно малом б > 0) даже в смешанных стратегиях. Пример такой игры будет приведен в п. 28.7.

4.2.Пусть Г = (X, у,Я > - произвольная (вообще говоря, бесконечная) антагонистическая игра. Как и в случае конечных игр, смешанными стратегиями игроков в Г являются вероятностные распределения на множествах их чистых стратегий х и у, а ситуациями в смешанных стратегиях в Г -пары таких вероятностных распределений, которые являются стохастически независимыми.

4.3.Введение вероятностного распределения на конечном множестве оказьшается весьма простым делом. Для его задания достаточно приписать каждому элементу множества некоторую неотрицательную вероятность так, чтобы сумма всех этих вероятностей бьша равна единице. Такого рода распределения и соответствующие им смешанные стратегии игроков далее будут называться конечными.

В остальных случаях следует действовать более аккуратно: необходимо задать некоторое достаточно широкое семейство подмножеств множества стратегий игрока и приписать каждому подмножеству из этого семейства некоторую вероятность выбора чистой стратегии именно из него. Такое приписьшание вероятностей должно подчиняться некоторым условиям, связанным с так называемой "измеримостью" функции выигрыша. Связанные с этим рассуждения в полном своем объеме оказываются достаточно сложными. Однако мы на них сейчас останавливаться не будем и ограничимся следующим предположением, которое в рамках рассматриваемых в данном курсе вопросов полностью соблюдается.

Пусть X и Y - смешанные стратегии игроков 1 и 2 в игре Г. Вьшгрыши Н(Х,у), Н(х, У) и Н(Х, У) являются по определению математическими ожиданиями

H(X,y) = fH(x,y)dX(xl Н(х, Y) = fH(x,y)dY(yl

Я(Х, У) = /Я(х, Y)dX(x) = f ЩХ, y)dY{y) =

= f J Щx,y)dX{x)dY(yУ

Мы будем считать, что все написанные здесь интегралы существуют, каковы бы ни бьши вероятностные распределения X и У. Все эти интегралы являются интегралами Стилтьеса. Читатель, не знакомый с этим понятием, может каждый раз под дифференциалом dX(x) понимать либо вероятность появления точки х в условиях распределения X, либо выражение fx;(x)dx,Tne fx() - плотность распределениях в точке л:. Ясно, что если при всех х G х дифференциал dX(x) употребляется в первом смысле, то интеграл Стилтьеса превращается в сумму конечного или счетного числа слагаемых, а если во втором г.ммсле, то в обычный интеграл (Римана). 7.Н.Н. Воробьев97



Более точные рассуждения проводятся в § 9, где они нам и понадобятся.

4.4.Определение. Пусть Г = < х, у, Я > - антагонистическая игра, а {X*, Y*) - некоторая ситуация в смешанных стратегиях в ней. Она называется ситуацией равновесия в смешанных стратегиях (или, синонимично, седловой точкой в смешанных стратегиях), если для любых смешанных стратегий X и У соответственно игроков 1 и 2 вьшолняется неравенство Я(Х, У*)йН(Х\ У*) йН(Х\ У).

4.5.В связи со смешанными стратегиями в бесконечных антагонистических играх можно сформулировать и доказать утверждения, аналогичные тем, которые в связи со смешанными стратегиями в матричных играх бьши приведены в § 9 гл. 1. Аналогом леммы п. 9.3 гл. 1 является следующая лемма.

Лемма (о переходе к смешанным стратегиям).

Если

Н(х, У)а при всех xGx,(4.1)

то Н(Х, У.) а для всех смешанных стратегий X игрока 1.

Доказательство осуществляется интегрированием неравенства (4.1) по х с интегрирующей функцией Х(х): SH(x, y)dX(x) а fdX(х), что и цяет

требуемое. □

Точно так же можно переходлть к смешанным стратегиям в неравенствах вида

Н(х,У)>а при всех xGx,

Я(Х, у)при всех у Gy,

Н{Х, у)> а при всех у Gy.

4.6.Как и в случае матричной игры (см. п. 9.5 гл. 1), равновесность ситуации может выражаться через отклонения игроков "на чистые стратегии".

Теорема. Для того чтобы ситуация (X*, У*) была ситуацией равновесия в смешанных стратегиях в антагонистической игре Г = <х,у,Я>, необходимо и достаточно, чтобы при всех х G х и у G у имело место неравенство

Н(х, У*)йН{Х\ У*)йН(Х*,у).

Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности следует перейти к смешанным стратегиям на основании предьщущей леммы. □

4.7.Сформулируем и докажем аналог леммы п. 10.2 гл. 1. Лемма. Пусть Г = (х, у,Я > - антагонистическая игра. Какова бы ни

была смешанная стратегия У игрока 2, должно быть

supН{х, У) = sup Н(Х, У),(4.2)

где супремум слева распространяется на все чистые стратегии игрока 1, а

справа - на все его смешанные стратегии.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]