назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [ 30 ] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


30

на, как это видно из таблицы (26.1) и матрицы (26.2); наконец, если А и Б выбирают одну и ту же роль или же одновременно стратегию в , то выигрыш каждого из них равен нулю.

26.6. Переход от произвольной матричной игры к симметричной матричной игре Г(А ) является операцией симметризации в смысле, сформулированном в п. 26.1. В этом можно убедиться на основании следующих рассуждений. Не ограничивая общности рассмотрений (см. п. 5.2), с самого начала можно предполагать, что > 0.

Пусть

Zi=(U,,V,,t,)e 8(А\

где, как и выше, Ui, U2 суть т-векторы, Кь V2 - «-векторы, а Гь Г2 -вещественные числа.

Предположим сначала, что для всех Zi G 8(А) будет ti = 0. Тогда, как это следует из части 2) теоремы п. 25.6, двойственные друг другу задачи линейного программирования

XAJ„, О,

Х/ -> min,

Y>0,

т

не имели бы оптимальных решений (а одна из них - даже и допустимых!). Однако, согласно сказанному в пп.25.1 и 25.2, эти решения - оптимальные стратегии соответствующих игроков в игре , а эти стратегии, как известно, существуют. Значит, найдется такоеZi G 8 (А) , для которого ti > 0. Далее, оптимальность стратегии Z2 означает, что

0 А -Jl

-А 0 Jl

- Jm -Jn 0

т.е.

/= 1,..

/ = 1,..

jL-JnVl:

(26.3) (26.4) (26.5)

Из f 1 > 0 no свойству дополняющей нежесткости следует, что в (26.5) имеет место точное равенство:

UJl, -JnVl.(26.6)

С другой стороны, t2l, так как последняя чистая стратегая игрока 2 в игре Г(Л) оптиманьной не является. Поэтому части равенства (26.6) положительны, и на них можно почленно делить неравенства (26.3) и (26.4):

JnVi



откуда, учитывая (26.6),

Ai.- <-:p =- <-(26.7)

для всех/= 1,. .. ,m и /= 1,.. . ,и. Векторы UlilhJ) и VzliJnVj) являются стратегаями игроков в игре . Поэтому соотношение (26.7) приводит нас в условия утверждения п. 15.8, согласно которому

IVUJnViU2J\„ JnVi

Так как по предположению > О, то должно быть и 2 > О, и притом для всех оптимальных стратегий Z2.

По соображениям симметрии должно быть и f i > О для любой оптимальной стратегии Zi игрока 1 в игре Г(А) .

Таким образом, мы в нашем случае неизменно оказьшаемся в условиях части I) теоремы п. 25.6, и оптимальная стратегия каждого из игроков в игре Г(А ) порождает седдовую точку в игре .

Пусть, с другой стороны, XG 8 (Л) и YG (Л), кроме того, Va > 0.

Тогда согласно п. 25.1 и 25.2 векторы X=X/va и Y=Y/va являются решениями пары двойственных задач линейного программирования, и по ним в соответствии с формулами (25.17) и (25.18) мы получаем некоторую .оптимальную стратегию любого из игроков в симметричной игре



Глава 2

БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

§ 1. БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

1.1.В этой главе будут рассматриваться общие антагонистические игры, т.е. системы вида

Г = <х,у,Я>,(1.1)

где X и у - произвольные множества, элементы которых назьшаются соответственно стратегиями игроков I и 2, гН: xXy-R - функция, называемая функцией выигрыша игрока 1 (см. п. 1.3 введения). Она назьшается также функцией выигрыша самой игры Г. В этой книге рассматриваются только игры с ограниченными функциями вьшгрыша.

Таким образом, исхохшые термины и обозначения теории общих антагонистических игр совпадают с соответствующими терминами и обозначениями теории матричных игр.

Содержательно число Н(х,у), где лгЕх, 2l у Еу, обозначает выигрыш игрока 1 (проигрыш игрока 2) в ситуации (х, у).

1.2.Необходимость рассмотрения бесконечных (в том числе - антагонистических) игр требует некоторых методологических обоснований.

Во многих естественных (а в последнее время - и в общественных) науках широкое распространение получил прием, заменяющий рассмотрение конечных множеств с очень большим числом элементов рассмотрением бесконечных множеств. Этот прием позволяет применять к широкому классу задач мощный аппарат математического анализа.

Поэтому, если мы встречаемся с большим числом стратегий у игрока, то независимо от того, будем ли мы считать, что он в действительности располагает в игре конечным или бесконечным множеством стратегий, методологически естественно, а практически полезно считать множество его стратегий бесконечным.

Под бесконечной антагонистической игрой мы будем понимать такую антагонистическую игру, в которой хотя бы один игрок имеет бесконечное множество стратегий.

С теоретико-игровой точки зрения именно свойство антагонистичности игры оказьшается решающим предположением, определяющим основные направления и результаты ее анализа (см. теорему п. 4.4 гл. 1). Различие меаду конечными и бесконечными антагонистическими играми представляется в этом смысле второстепенным и скорее техническим: для исследования бесконечных игр приходится применять более сложный математический аппарат, заменять линейно-алгебраические соображения функциональ-но-аналитичес1шми (в том числе анализ систем линейных алгебраических 92

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [ 30 ] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]