назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [ 3 ] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


3

Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что каждому игроку i GI в каждой ситуации jcG х приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации. Это число называется выигрышем игрока / в ситуации х и обозначается через Я/ (х). Соответствие Я/: x->R называется функцией выигрыша игрока /.В этих условиях протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком / G / его стратегии Х{ G х,- и в получении им в сложившейся ситуации х = = (xi,... ,л:„) из некоторого источника выигрыша Я/ (х). Вообше говоря, оценка игроком / ситуации х путем указания выигрьппа Я/ (х) не всегда возможна практически и даже не всегда имеет смысл (если, например она выражается в эмоциональных, эстетических или этических категориях) В таких случаях иногда удается вместо прямых численных оценок ситуа ций указывать на их сравнительную предпочтительность для от дельных игроков. На этом пути создается теория игр с предпочтениями, более широкая, чем излагаемая далее теория игр с выигрышами. Однако математическая теория игр с предпочтениями, с одной стороны, сложна, а с другой - пока еще недостаточно разработана. Здесь мы рассмотрим только игры с вьшгрышами.

Таким образом, всякий конфликт будет нами представляться в виде системы

</, {х,},е/,>.(1.1)

Такая система называется бескоалиционной игрой или просто игрой. Обычно бескоалиционная игра обозначается греческой буквой Г (быть может, с некоторым индексом или пометкой), соответственно начальной букве английского слова game (игра).

1.4.В принципе можно говорить и о бескоалиционной игре Г с одним игроком (=1). В этом случае каждая стратегия xi единственного участника игры уже составляет ситуацию х, так что xi = х, и игра Г из (1.1) фактически оказывается просто функцией: Н-Нх: x = xi ->R. Из этого обстоятельства вовсе не следует, что теория функций как раздел математики должна или может входить составной частью в теорию игр. В действительности эти области математики подходят к своим предметам с достаточно различных точек зрения.

1.5.Среди всех бескоалиционных игр естественным образом вьщеляется класс антагонистических inrp, в которых число игроков равно двум, а значения их функций вьшгрыша в каждой ситуации равны по величине и противоположны по знаку:

я1(х1,х2) = -я2(х1,х2).

Очевидно, запись игры в виде (1.1) применительно к антагонистической игре приобретает вид < {1, 2}, {xi, х2} ЛН -Hi}>, или, исключая информацию, содержащуюся в самом факте антагонистичности игры, -

вид(х1,х2,я1> .

Чтобы сократить употребление индексов, множества стратегий игроков 1 и 2 антагонистической игре будут обычно обозначаться через х и у, функция выигрыша я1 - через Я, а сама игра записывается в виде < х, у, ЯК

1.6.Бескоалиционная игра, в которой множества стратегий каждого игрока конечны, называется конечной бескоалиционной игрой (конечной



игрой). Если для конечной бескоалиционной игры двух лиц ставить в соответствие стратегиям игрока 1 строки некоторой таблицы, стратегиям игрока 2 - ее столбцы, а клетки таблицы заполнять значениями функции выигрыша игрока 1, тб полученная таблица шзывается матрицей выигрышей игрока 1. Если клетки этой же таблицы заполнить значениями функции Bbmrpbmja игрока 2, то получится матрица выигрышей игрока 2. Эта пара матриц полностью описывает конечную бескоалиционную игру двух лиц. Поэтому такие игры называются биматричными.

Если биматричная игра является антагонистической, то матрица выигрышей игрока 2 полностью определяется матрицей выигрышей игрока 1 (соответствующие элементы этих двух матриц отличаются только знаками). Поэтому биматричная антагонистическая игра полностью описывается единственной матрицей (матрицей выигрышей игрока 1) и в соответствии с этим называется матричной.

§ 2. ПРИМЕРЫ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГР

2.1.Рассмотрим несколько примеров бескоалиционных игр. Целью этого рассмотрения является конкретная иллюстрация не только самого понятия бескоалиционной игры, но и вариантов тех трудностей, с которыми приходится сталкиваться при анализе таких игр.

2.2.Зачет. Пусть игрок 1 - Студент - готовится к зачету, а игрок 2 - Преподаватель - принимает его *). Будем считать, что у Студента две стратегии: хорошо подготовиться {X) или плохо (Я), а у Преподавателя - тоже две стратегии: поставить зачет (+) и не поставить его (-). В основу оценки значений функций выигрыша игроков можно положить, например, следующие соображения, отраженные в матрицах выигрышей.

Выигрыши Студента

Выигрыши Преподавателя

(оценили по заслугам)

(удалось словчить)

(обидно)

(получил по заслугам) J

[все нормально)

(дал себя обмануть)

(проявил несправедливость) -]

(Студент придет еще раз) -

Этой модели более всего соответствует случай остающегося после беседы сомнения преподавателя в добросовестности студента и отсутствие реальной возможности проводить дальнейшее доскональное выяснение его знаний.

Эта игра - биматричная. В ней / ={1, 2} , Xj ={Х,77} и Х2 ={+,-/. Значения функций выигрыша игроков приведены в матрицах.

2.3. Орлянка. Игрок 1 выкладывает монету на стол, а игрок 2, не видя монеты, угадьшает, какой стороной (т.е. "орлом" {О) или "решкой"

По принятой в теории игр традиции нарицательные названия игроков считаются как бы их собственными именами и потому пишутся с прописной буквы. Употреби-ечьны также имена: Природа, Случай и т.п.



(Р)) вверх она положена. В случае угадывания он получает от игрока 1 одну единицу вьшгрыша, а в противном случае уплачивает ему единицу.

Эта игра - антагонистическая. В ней Xj = X2 ={0, Р} ,аН(О, О) = Н(Р, = -1 и Я (О, Р) =Н (Р,0) = I, или в матричной форме: о р

-1 1 1 -1

2.4.Пример игры на открытом квадрате. Пусть каждый из игроков 1 и 2 выбирает число из открытого интервала (О, 1), после чего игрок 1 получает от игрока 2 сумму выбранных чисел.

В этой антагонистической игре, очевидно, х = у = (О, 1), так что множество ситуаций хХх = (О, 1) X (0,1) является множеством пар чисел (х,у), те 0<Ху у < 1,т.е. открытым единичным квадратом. Очевидно, для этой игрыЯ(л:,>) =х-у.

2.5.Д в а бандита. Игроками I и 2 являются преступники ("бандиты"), находящиеся в предварительном заключении по подозрению в тяжком преступлении. Прямых улик, однако, против них нет, и возможность их обвинения в значительной мере зависит от того, сознаются ли преступники сами.

Если оба они сознаются, то будут, несомненно, осуждены на длительный срок тюремного заключения, однако при этом признание учитывается как смягчающее обстоятельство (потери каждого из игроков в этом случае оценим в -8). Если они оба не сознаются, то за отсутствием улик обвинение в тяжком преступлении будет снято, но следователь сможет доказать их виновность в совершении менее значительного преступления, в результате чего оба получат некоторое наказание (потери составляют -I для каждого). Если, наконец, сознается лишь один из преступников, то по законам той "модельной" страны, в которой происходят описываемые события, он будет выпущен на свободу (потери равны 0), а его упорствующий партнер получит полную меру возмездия (потери равны-10).

Эта игра - биматричная. В ней каждый игрок имеет по две стратегии: признаваться (77) или нет (Я). Матрицами выигрьппей игроков являются:

для игрока 1 ЯЯ

для игрока 2 ЯЯ

L -10

-10 -1

2.6.Семейный спор.Два экономических партнера (игроки I и 2) договариваются о совместном проведении одного из двух действий, Z)i или D2, каждое из которых требует совместного.участия обоих партнеров.

В случае совместного осуществления действия Т), игрок 1 получает одну единицу полезности, а игрок 2 - две единицы. Наоборот, в случае совместного осуществления D2 игрок 1 получает две единицы, а игрок 2 - лишь одну. Наконец, если игроки вьшолнят различные действия, то вьшг-рыш каждого из них равен нулю. Таким образом, мы имеем биматричную

[Старт] [1] [2] [ 3 ] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]