назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


22

квадрата с зигзагом, состоящим из трех звеньев:

(5,1), где i<k\ если О О, ?Г, если С<0; а,0), гдеесли ОО, Г, если С<0;

(?*,7j), где 7?е[0,1]

(рис. 1.12).

Обратим внимание на то, что в каждой игре зигзаги, на которых расположены приемлемые стратегии игроков, оказьюаются одной и той же ориентации, т.е. являются либо оба правыми, либо оба левыми.

Нам остается воспроизвести рассуждения п. 18.2.

18.7. Заметим, что при СФО и т?* G(0,1) пересечением зигзагов является единственная точка с координатами (*, т?*), которая и будет единственной седловой точкой в игре.

Например, для игры с Л =

мы имеем С = ЛФО, oci =3, 17* =

= 3/4, «2 = 2 и 5* =1/2. Поэтому зигзаги приемлемых ситуаций имеют

7]*<0

•----. н ,----

С<0 Рис. 1.11

С>0

>1

С<0

Рис. 1.12



Рис. 1.13

Рис. 1.14

Рис. 1.15

ЭТОМ случае имеет вид отрезка, (рис. 1.14). 1 2

Здесь С= О, прием-

вид, изображенный на рис. 1.13; соответствующая ситуация равновесия -точка их пересечения - единственная.

18.8.В качестве второго примера рассмотрим случай игры с А = 2 О 1

. Здесь С = 2 90, = 1, 77* = 1/2, с2 =0, Г =0 Поэтому

множество всех ситуаций равновесия в состоящего из ситуаций (О, г?), где г?= [О, 1/2

18.9.Рассмотрим, наконец; игру с А=

лемыми для игрока! являются все ситуации вида (1,г?), а приемлемыми для игрока 2 - все ситуации вида (1,0- В игре имеется единственная ситуация равновесия в чистых стратегиях: (1, 1) (рис. 1.15).

18.10.Проведенный анализ дает основания к несколько иному, упрощенному алгорифму перечисления ситуаций равновесия в 2 X 2-игре, основанному на иной классификации случаев.

Из сказанного выше следует, что таких основных и без труда распознаваемых случаев - два.

1)В игре нет седловых точек в чистых стратегиях. В этом случае игра имеет единственную седловую точку в смешанных стратегиях (X* Y*) - (* т]*), где, как и выше, = а/Си Г]* = а/С. Заметим, что этот факт отражает примечательное свойство 2 X 2-игр: если в такой игре один из игроков имеет чистую оптимальную стратегию, то другой игрок тоже имеет чистую оптимальную стратегию.

Чтобы не запоминать выражений для С, а, иа, удобно выводить соответствующие формулы каждый раз заново, пользуясь формулами (18.16) и (18.6), которые являются одной из форм выражения дополняющей нежесткости и в специальном запоминании не нуждаются.

2)в игре есть седловые точки в чистых стратегиях. Пусть для определенности одна из них состоит из первых чистых стратегий игроков. Тогда ц» и по определению седловой точки должно быть flji й 12- Смотря по тому, реализуются в этом соотношении строгие неравенства или точные равенства, нам могут представиться четыре варианта рассуждений.

а) 11 12- Здесь для первой чистой стратегии игрока 2, которая по условию оптимальна, мы имеем а -A2.Y< fljj ~А Значит, по теореме п. 17.3 о дополняющей нежесткости вторая чистая стратегия игрока 1 не может входить в спектр какой-либо его оптимальной стратегии. Следовательно, первая его чистая стратегия является его единственной оптимальной стратегией.

По аналогичным соображениям единственной оптимальной стратегией игрока 2 является первая его чистая стратегия.

< а. По тем же причинам, что и в случае а), здесь у игрока 1 имеется

единственная оптимальная стратегия (именно, его первая чистая стратегия). Чтобы



смешанная стратегия У = (т?, 1 - 97) игрока 2 бьша оптимальной, необходимо и достаточно соблюдение неравенстъа

откуда и находятся соответствующие значения 17.

в)11 ~12- Симметрично предыдущему здесь единственная оптимальная (первая чистая) стратегия имеется у игрока 2, а условием оптимальности смешанной стратегии Х= I - ) игрока 1 будет

ХЛ.2=а, + (1 - О=ti-

г)"п -12- Этот случай распадается в свою очередь на три подслучая.

11) 22 < г- При этом, очевидно, С=;0, у игрока 1 единственная оптимальная стратегия, а оптимальными стратегиями игрока 2 будут все его стратегии.

2) 22 > г- Здесь также С Ф 0; единственная оптимальная стратегия здесь будет у игрока 2, а оптимальными стратегиями игрока 1 будут все его стратегии.

Г3) 22 =1р. Здесь С = а -а. ~ 0. Все ситуации оказываются равновесными, а все стратегии игроков - оптимальными.

18.11. Приведем пример, иллюстрирующий нахождение оптимальных стратегий игроков в случае 1) из предьщущего пункта. -

Рассмотрим игру с матрицей вышрышей = 2 5 * Максимин элементов

этой матрицы равен 2, а минимакс равен 3. Поэтому седловых точек в чистых стратегиях в этой игре нет, и мы действительно имеем дело со случаем 1). Обозначим искомую оптимальную стратегию игрока 1 через (* 1-4*)- Тогда выражающее дополняющую нежесткость равенство (18.6) принимает вид *-3 + (1 - *) - 2 = = 1 + (1 - *) -5, откуда *=3/5и1-* = 2/5. Значение i; этой игры равно 13/5.

Аналогично соответствующее равенство для оптимальной стратегии (т;* 1 - т}*) игрока 2 имеет вид

Зг?*+1 • (1 -*) =2г?*+5 • (1 -т?*),(18.19)

откуда ?7* = 4/5 и 1 - 1/5.

Заметим, впрочем, что, зная значение игры, равенстъа (18.19) можно и не выписьтать. В данном случае должно быть Ax.Y* Ф v, как, впрочем, и Л2.У* = iy-Первое из этих равенств имеет вид Зг7*+ 1 • (1 - 77*) = 13/5, откуда и следует требуемое.

§ 19. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ 2 X я-ИГР

19.1 Рассуждения предыдущего параграфа показывают, что полный, перечисляющий всевозможные случаи анализ даже для такого простого класса игр, как 2 X 2-игры, оказывается достаточно нетривиальным. Переход к играм большего формата существенно увеличил бы его громоздкость. Естественно поэтому, что большинство алгорифмов решения игр должно иметь достаточно сокращенный вид и опираться на те или иные соображения, основанные на наглядности.

Кроме того, оказывается, что д/ш перечисления всех ситуаций равновесия игры основную трудность составляет нахождение спектров оптимальных стратегий игроков, после чего остается сравнительно несложная и традиционная работа.

Для некоторых классов матричных игр представляет практический интерес графоаналитический метод решения, названный так потому, что в нем графически определяются качественные особенности решения (спектры оптимальных стратегий игроков, форма множеств оптимальных стратегий и т.д.), после чего, пользуясь знанием этих особенностей, полную характеристику решения игры можно найти уже чисто аналитически.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]