18. 2 X 2-ИГРЫ

18.1. Анализ матричных игр, как, впрочем, и любых многопараметрических игр, оказьюается нетривиальным даже в простейших случаях.

Рассмотрим матричную игру, в которой каждый из игроков имеет по две чистые стратегии. Матрица вьшгрьппей этой игры имеет вид

«11

«2 1

«12 «2 2 J

(18.1)

Пусть X - произвольная смешанная стратегия игрока 1 (в частности, эта стратегия может быть и чистой). Если ? - вероятность выбора игроком 1

и.<0

Рис. 1.9

Рис. 1.10

своей первой чистой стратегии в условиях X, то вероятность выбора им второй стратегии есть 1 - ?. Поэтому стратегию X можно представить в виде (I, 1 - ?). Аналогично, если Y - произвольная смешанная стратегия игрока 2, то она имеет вид (г?, 1 - г?). Таким образом, стратегия X однозначно определяется числом а стратегия У - числом г]. Чистым стратегиям соответствуют, очевидно, значения параметров О и 1. Мы будем в соответствии со сказанным обозначать ситуацию (X, У) парой чисел (, т?).

Геометричесюи всякую ситуацию (?о> о) в смешанных стратегиях такой игры можно понимать как точку на единичном квадрате (рис. 1.9). Ситуациям в чистых стратегиях соответствуют вершины этого квадрата.

18.2.Ситуация (X У) является седловой точкой в игре Г, если она приемлема для каждого из игроков. Поэтому для описания всех седловых точек в игре мы опишем множества ситуаций, приемлемых для отдельных игроков, и изобразим их на единичном квадрате всех ситуаций. Пересечение двух этих множеств и будет составлять множество всех седловых точек игры.

18.3.Займемся описанием ситуаций, приемлемых для игрока 1 в 2 X 2-игре .

Приемлемость ситуации (X, У) для игрока 1 в 2 X 2-игре означает (например, в силу леммы о переходе к смешанным стратегиям), что

Ao.Y ХАУ

ХАУ, т

(18.2) (18.3)

Положим X = (f, 1 - ?) и рассмотрим отдельно три случая, а) 1 = 1. Зде.сь g > О (18.2) обращается в тождественное равенство, так что необходимым и достаточным условием приемлемости ситуации (X, У)

для игрока 1 оказьшается неравенство (18.3). Это можно записать как A,,YA2,Y.(18.4)

б)? = 0. Здесь 1 - ? > О, так что в тождественное равенство обращается (18.3), и условием приемлемости жтуации (Х, У) оказьшается (18.2) или, что то же самое,

A,JSA2,Y.(18.5)

в)О < S < 1. В этом случае как > О, так и 1 - > 0. Поэтому по теореме п. 17.3 о дополняющей нежесжости оба неравенства (18.2) и (18.3) обращаются в равенства, и условием приемлемости становится

A,.Y=A2J.(18.6)

18.3.Опишем варианты приемлемости ситуаций в более явном виде. Заметим для этого, что в любой ситуации {X, Y) = (?, i?) в смешанных стратегиях 2 X 241гры мы имеем

XAY = (k,l-)\ "](V,1-Vf =

. 2 1 22 J

= Ш11 +?(1 -V)ai2 +(1 "?)W2 1 +(1 -0(1 ~Ф22 =

= iv(aii -ai2 -21 +«22) + ?(i2 -a22) + V(a2i -Л22) + Л22. (18.7)

Поэтому соотношения(18.4), (18.5) и (18.6) можно соответственно записать как

г?С >ai,(18.8)

г?С а, ,(18.9)

т?С =«1,(18.10) где

C = aii -ai2 -а21 +а22 и «1=22-«i2-(18.11)

Таким образом, приемлемые для игрока 1 ситуации в игре могут быть одного из трех типов:

(1,7?),гдеТ7С g:i,

(0,7?), где r?Cai,

(?,7?), где 7?С =ai, а ?G(0,1).

18.4.Если С = О, но «1 Ф 0,то (18.10) не имеет места, так что вьшолняется либо (18.8), либо (18.9), и притом со знаком строгого неравенства. Поэтому множество всех 7? дает приемлемые ситуации либо с ? = 1, либо с = О, смотря по тому, какое из чисел окажется больше, -Д22 или ai2.

Если же С = О и oil = О, то все соотношения (18.8) - (18.10) выполняются тождественно, и приемлемыми для игрока 1 будут вообще все ситуации.

Перечисленные случаи изображены на рис. 1.10.

18.5.Обратимся к случаю, когда С Ф 0. Тогда из (18.10) следует т? = = ai/C. Это значение 7? мы далее будем обозначать через 7?*. С учетом(18.11)

должно быть

г?* =---- .(18.12)

«11 -«12 -«2 1 +«2 2

Тогда перечисленные в п. 17.3 типы приемлемых для игрока 1 ситуаций приобретают следующий вид:

(1,7?), гдеесли ОО, т?г7*, если С<0;

(0,7?), где 7? 7?*, если ОО, т?!?*, если С<0; (?,7?*), где S G[0,1]. (lgj3)

Если отвлечься от того, что число т? является вероятностью и поэтому должно принадлежать сегменту [О, I], то во всех вариантах случая СФ множества (18.13) составляют трехзвенные зигзаги, а множества приемлемых для игрока 1 ситуаций суть пересечения этих зигзагов с единичным квадратом ситуаций. Возможные случаи изображены на рис. 1.11.

Далее назовем трехзвенный зигзаг левьш, если при подходе к его среднему звену оно будет расположено слева по направлению движения (рис. 1.11 а - д), и правым - в противном случае (рис. \Л{е -к).

18.6. Описание ситуаций в игре , приемлемых для игрока 2, делается симметрично проведенному в пп. 18.3-18.5 описанию приемлемых ситуаций для игрока 1.

Приемлемость ситуации {X, Y) в игре для игрока 2 означает, что

Х4.1 XAY, ХА.2 ХАУ,(18.14)

Положив Y = (7?, 1 - 7?), мы приходим к рассмотрению трех случаев:

а)7? = 1. В этом случае приемлемость ситуации (X, У) равносильна неравенству

Х4.1X4.2.(18.15)

б)7? = 0. Приемлемость ситуации (X. У) для игрока 2 означает, что ХЛ.1ХЛ.2.(18.16)

в)О < 7?< 1. Приемлемость ситуации (X, У) для игрока 2 означает, что ХА,1 =ХЛ.2.(18.17)

Согласно (18.7) соотношения (18.15), (18.16) и (18.17) могут быть соответственно переписаны в виде

где число С определяется, как ив (18.11), а «2 ~ «2 2 - «21 •

Случай С = О разбирается так же, как и при рассмотрении ситуаций, приемлемых для игрока 1. В случае С Ф О положим * = a2/Q т.е. в наших обозначениях

«? 7 - 1

Г =-----.(18.18)

«11 -«12 -«21 +«22

Приемлемые для игрока 2 ситуации составляют пересечение единичного 5.Н.Н. Воробьев65