назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


16

Наконец, (9.15) означает, что число а.., являющееся значением игры Г, оказьшается при этом значением функции выигрыша в одной из седловых точек Г, т.е. значением игры Г. □

Таким образом, из наличия у матричной игры значения следует его наличие и в ее смешанном распшрении, а также равенство этих двух значений. Это дает нам основание говорить просто о значении матричной игры , обозначая его просто через i; и прибавляя, когда это нужно, слова "в чистых стратегиях" или "в смешанных стратегиях".

Подчеркнем, что в ходе доказательства этой теоремы мы опирались лишь на теорему о независимости от посторонних альтернатив (п.5.3) и на лемму о переходе к смешанным стратегиям. Поэтому справедливость каждого из утверждений доказанной теоремы не связана с конечностью антагонистической игры Г, а справедливость первых трех ее утверждений - даже с антагонистичностью Г.

9.7.На смешанные распшрения распространяется отношение аффинной эквив ал ентности.

Теорема. Если две матричные игры и аффинно эквиваленты, то их смешанные расширения также аффинно эквивалентны.

Доказательство. Предположим, что Г. Это значит, что У Г 4 и Тв совпадают множества чистых стратегий первого игрока, а также множества чистых стратегий второго игрока. Поэтому у них должны совпадать также и множества смешанных стратегий игроков.

Далее, пусть для каждой ситуации (/,/) буцет а = kbij + а, где к > 0. Тогда, умножая это равенство на tjVj суммируя по всем / =1, . . . , m и /=!,...,«, мы получаем

т пт пт п

2 2 ?,а,ут?. = 2 2 %,{kbij а)п. =к 2 ,ЪцГ}. а,

i = I J = 1i = Ij = \ J У = 1

или XAY = kXBY +a при любой ситуации {X, Y) в смешанном расширении игры .

Это и означает аффинную эквивалентность смешанных расширений игр. □

9.8.На смешанные расширения естественным образом распространяются отношения изоморфизма и зеркального изоморфизма игр.

Теорема. Если тг - изоморфизм матричной игры Г = ( х, у, Н )на матричную игру Г = {х ,у\Н), ГиГ - смешанные расширения этих игр и для любых XGX,xGx, Y GY и у Gy положено

(пХ)(1гх)=Х(х),(9.16)

.(iTY)(7ry)=Y(y),(9.17)

то так продолженное отображение тг оказывается изоморфизмом Г на Г. Лншюгичное утверждение имеет место для зеркального изоморфизма

Лок d i d т е л ь с т в о. Запишем

тХ. у > 1 2 X(x)H{x,y)Y{y).(9.18)

у X у е- у

Но л пробегает х (а v пробегает у) тогда и только тогда, когда тгл пробегает



х(аTTjF пробегает у); по предположенной изоморфности* игр Г и Г должно быть Н{х,у) =Я(7гх, яу). Поэтому с учетом (9.16) и (9.17) мы можем переписать (9.18) как

Я(Х У) = 2Z {Т1Х){ПХ)Н\ПХ, 7Г>;)(7Г У)(7Гу) = Я(7ГХ, 7ГГ).

тгл; G X тгу G у

Случай зеркального изоморфизма игр рассматривается аналогично. □ 9.9. Далее мы докажем, что ситуация равновесия в смешанном расширении существуют для любой матричной игры.

Ввиду сказанного в п. 6.1 для доказательства этого достаточно установить существование и равенство минимаксов

max.infX4r и min supX4r.(9.19)

X YY X

Фактически нами будет далее доказано существование и равенство минимаксов

max min XAY и min max XAY.(9.20)

X YY X

§ 10. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСОВ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ

10.1.Нашей ближайшей задачей является доказательство существования в матричных играх ситуаций равновесия в смешанных стратегиях. Согласно теореме п. 6.1 для этого необходимо и достаточно установить существование и равенство минимаксов

max ЫХАУ и min sup ХАУ.

X YY X

В этом параграфе будет доказано существование (достигаемость) внешних экстремумов в написанных минимаксах,. а в § 13 - их равенство.

10.2.Лемма. При любом YqGY имеет место

8ирХ4Го= max Л/.1о,.(10.1)

а при любом Хо G X -

inf Хо У = min Хо Л.(10.2)

Доказательство. Очевидно (см.,например,п.3.6),

max Л,-.Го sup Х4Го.

Если предположить, что это неравенство - строгое, то найдется такое € > О, что

Ai. Y< sup XAY -€

при любом /=1,...,т. Но тогда по лемме о переходе к смешанным стратегиям (п. 9.4) будет

XAY< sup XAY -€

при любом АEX. Возможный согласно следствию из п. 3.3 переход к 4. Н.Н. Воробьев49



супремуму по X G X дает нам sup Х4Го< sup X4Fo-e,

чего не может быть.

Равенство (10.2) доказывается аналогично. □

10.3.Следствие 1. Существуют {достигаются) экстремумы

тахХЛо при любом YqGY,

min Xq апри любом Xq G X.

Это вытекает непосредственно из равенств (10.1) и (10.2). □

10.4.С л е д с т в и е 2.Ллл существования в смешанном расширении матричной игры ситуаций равновесия необходимо и достаточно доказать существование и равенство минимаксов

max minX4.y и min max Л/. Y,(10.3)

X jY i

Это следует из п. 9.6 и равенств (10.1) и (10.2). □

10.5.Лемма. Значение

maxX4F(10.4)

является непрерывной функцией У, а значение mm XAY - непрерывной

функцией X.

Доказательство. Ограничимся доказательством первого утверждения леммы. Согласно лемме из п. 10.2 нам достаточно доказать непрерьш-ность по Y переменной

тахЛ/. Г,(10.5)

являющейся функцией от У.

Очевидно, что при любом / скалярное произведение Л/. Y в силу его линейности всюду непрерьюно по Y. Так как / принимает конечное число значений, все скалярные произведения Af. Y всюду равностепенно непре-рьюны по Y.

Это значит, что по любому е > О найдется такое 5, что при Y - Y" \ <д будет \Ai. F - Af. F" < б при любом / = 1,. .. ,т. Но тогда по лемме п. 3.6 должно быть и

\mzxAi. F-max а, Y" \<е,

а это и требовалось. □

10.6.Теорема. Минимаксы max minXlF и min max XAY существуют,X уу X

Доказательство. По предьщущему тахХ4 Y есть непрерьюная

функция Y, Будучи задана на компакте Y, она принимает наименьшее значение, т.е. достигается минимакс min maxX4 Y.

у X

В силу аналогичных причин достигается и максимин max miaXAY, □

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]