фундаментальные симплексы смешанных стратегий игроков 1 и 2 в матричной игре Г = <х,у,Я) обозначаются соответственно через X и Y. Заметим, что X и Y являются компактами.

8.5. Далее для нас окажется важным следующее понятие.

Определение. Множество тех номеров / (чистых стратегий игрока 1), для которых в смешанной страгетии Z = (i, ..., компоненты

положительны, назьшается спектром смешанной стратегии X и обозначается через supp X.

Аналогично спектром стратегии Y = (rji, . . . , щ) игрока 2 называется множество supp У тех его чистых стратегий /, для которых г? > 0. □

Очевидно, множество всех смешанных стратегий игрока 1 из X, спектры которых содержатся в данном множестве х С х, составляет некоторую грань симплекса X, а именно ту его грань, на которой обращаются в нуль все барицентрические координаты, соответствующие стратегиям из разности х\х. Эту грань мы будем обозначать через Xji\ вместе с тем эту же грань можно понимать и как множество всех смешанных стратегий X игрока 1 в х-подьп-ре исходной игры. При этом оба описанных представления этой стратегии в виде вектора X = (i, ..., 5,,) будут отличаться друг от друга лишь наличием (при ее понимании как стратегии в исходной игре) или отсутствием (при ее понимании как стратегии в подьп-ре) некоторого числа нулевых компонент вектора. Во всех случаях, когда это не сможет привести нас к недоразумению, мы не будем различать смешанные стратегии со спектром, содержащимся в данном множестве х стратегий в некоторой игре и соответствующие им стратегии х-подыгры.

Все сказанное можно с соответствующими изменениями повторить и применительно к составляющим фундаментальный симплекс Y смешанным стратегиям игрока 2 и граням Yy этого симплекса.

§ 9. СМЕШАННОЕ РАСШИРЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ

9.1.По любой матричной игре можно построить игру, стратегиями которой являются смешанные стратегии исходной матричной игры.

Определение. Пара (X, Y) смешанных стратегий игроков в матричной игре, где и F как случайные величины являются независимыми, назьшается ситуацией в смешанных стратегиях в этой игре. □

Если конкретно мы имеем дело с т X л-игрой и стратегиями X = = (Ь> • • •» т)у Y (Vi, • • 9 Vn) игроков в ней, то в условиях ситуации в смешанных стратегиях каждая обычная ситуация (в чистых стратегиях) (/, / ) по определению оказьюается случайным собыгаем и, ввиду независимости X и Y, реализуется с вероятностью rj.. Поскольку в этой ситуации игрок 1 получает вьшгрьпп , математическое ожидание его вьшгрыша в условиях ситуации в смешанных стратегиях (X, У) равно

т п

2 2 5,а,ут?..(9.1)

1 = 1 7 = 1

Это число принимается за вьшгрьпп игрока 1 в ситуации в смешанных стратегиях (X, У) и обозначается через Н(Х, Y).

9.2.Таким образом, мы приходим к новой игре, которую можно описать следующи м о бразо м.

Определение. Смешанным расширением матричной игры Г =

= < X, у, Я> назьшается антагонистическая игра Г = (X, Y, Я>, в которой множествами стратегий игроков являются множества их смешанных стратегий в исходной игре, а функция вьшгрыша игрока 1 определяется (9.1).

В обозначениях матричных произведений выражение (9.1) можно переписать как

2 2 ,;Т7/= 2 ,AiY = XAY,

1= l 7 = 1/ = 1

9.3. Вспоминая определение приемлемых ситуаций в антагонистической игре, получаем, что ситуация (X*, Y*) в смешанном расширении матричной игры является приемлемой для игрока 1 тогда и только тогда когда при любом xGx выполняется неравенство

Х4Г*<ХМГ*.(9.2)

Эта ситуация приемлема для игрока 2 тогда и только тогда, когда

X*AY*X*AY при любом FGY.(9.3)

Наконец, она является седловой точкой (ситуация равновесия) тогда и только тогда, когда вьшолняется двойное неравенство

Х4Г*Х*ЛГ*Х*ЛГ прилюбых XGX и YGY. (9.4)

Произведение X*AY* является значением смешанного расширения матричной игры.

9.4. Лемма (о переходе к смешанным стратегиям).

Если Y - произвольная стратегия игрока 2,а - некоторое число и

A.YSa. i=l...,,m,(9.5)

то для любой смешанной стратегии X = (i,.., ,)Х игрока 1 XAYa.

Доказательство. Умножим каждое из неравенств (9.5) почленно на 5/ • S . (ввиду того, что 5/ О, знак неравенства не изменяется) и сложим все полученные неравенства. Получим

2iAfY = XAYai: =а, 1=1/=1

а это и требовалось. □

3 амечание. Совершенно так же осуществляются переходы к смешанным стратегиям в неравенствах вида

A-Y>a,/ = 1,...,т,

ХА,. а, /=1,...,«,ХА. -а,/ = 1,...,«.

9.5. Лемма о переходе к смешанных стратегиям позволяет сводить условия приемлемости и равновесности ситуаций, заданные в смешанных стратегиях, к аналогичным условиям, заданным в чистых стратегиях.

Теорема. Дая того чтобы ситуация (X* Y*) была в игре приемлемой для игрока 1, необходимо и достаточно, чтобы при всех i =

= 1,..., w выполнялись неравенства Л,,Г<Х*ЛУ*.(9.6)

Дпя ее приемлемости для игрока 2 необходимо и достаточно, чтобы при всех /=!,...,« выполнялись неравенства

X*AY*XA,,(9.7)

а для ее равновесности необходимо и достаточно, чтобы при всех i = 1,... ...,m и / = !,...,« выполнялись двойные неравенства

Л,. У*Х*ЛГ*.(9.8)

Доказательство. Необходимость очевидна, так как неравенство (9.6) является частным случаем неравенства (9.2). Для доказательства достаточности применим к неравенству (9.6) лемму о переходе к смешанным стратегаям. Это даст нам неравенство (9.2). Аналогачно сопоставлениям (9.3) с (9.7) и (9.4) с (9.8) доказьюаются остальные утверждения теоремы. □

9.6. Матричная игра, очевидно, является подьпрой своего смешанного расширения. Для седловых точек этих игр справедливо обрапление свойства независимости от посторонних альтернатив (п. 5.4). Кроме того, это свойство распространяется и на оптимальные стратегаи игроков (см. п. 5.6).

Теорема. Если Г = <Х, Y, Н) - смешанное расширение матричной игры Та = Г, то

1(Г) =(хХу)П <gi(f),(9.9)

2(Г) -(хХу)П 2(Г),(9.10)

£{Т) =(хХу)П6(Г),(9.11)

§(Г) = хП S(f),(9.12)

ад=уП (Г),(9.13)

i;(r) = i;(f).(9.14)

Доказательство. Далее, как обычно, /* и /* будут считаться чистыми стратегаями игроков 1 и 2.

Включение (/*,/*)€ (Г) означает, что а.* а.., / = 1, . . . , т.

Тем самым /* и /* в ролях X* и У* удовлетворяют неравенству (9.6) , равносильному приемлемости ситуации для игрока 1 в игре Г. Значит,

li*,f*)G ,(Г),и мы получаем (9.9).

Аналогачно с помощью (9.7) получаем равносильность (/*,/*) G ё2(Г) и(/*,/*)G 2(0,т.е. (9.10).

Такое же использование (9.8) , превращающегося теперь в V = i*r =i*I ДЛЯ f = 1,. .. ,m: /= 1,. .. ,и(9.15)

(илипросто пересекание (9.9) и (9.10)), дает (9.11). Представление

/?(Г) = (хХу) П &(Г) =

= (хХу)П( §(Г)Х (Г)) = (хП &ЧГ))Х(уП (Г)) дает нам (9.12) и (9.13).