назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


14

вполне определенного числа (значения игры). Поэтому антагонистические игры с седловыми точками иногда назьгваются вполне определенными.

§ 7. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

7.1. Обратимся теперь непосредственно к рассмотрению матричных игр. Матричную игру с матрицей вьшгрышей Л будем, как указьшалось, обозначать через . Если не оговорено противное, матричная игра будет считаться m X «-игрой. Стратегии игрока 1 обозначаются номерами соответствующих строк, а стратегии игрока 2 - номерами столбцов, /-я строка матрицы А обозначается через Л/, /-й ее столбец - через Л/у, а элемент, стоящий на их пересечении, - через aij.

Очевидно, ситуацией в матричной игре можно считать пару чисел (/,/), где / - номер строки матрицы вьшгрышей, / - номер ее столбца.

Ввиду конечности множеств стратегий в матричной игре все относящиеся к ее стратегиям экстремумы достигаются, так что минимаксы (2.5) и (2.6) могут бьггь записаны как

max mm лу, i j

min max %.

/ i

(7.1)

7.2.Ситуация (/*, / *) в матричной m X «-игре является равновесной (седловой точкой), если для любого / = 1,..., m и любого / = 1,...

7.3.В соответствии с теоремой п. 6.1 для существования в матричной игре седловых точек необходимо и достаточно, чтобы были равны минимаксы (7.1) : max min Л/у = min max Л/у ; общее значение этих минимаксов

/ /

равно элементу матрицы, соответствующему ее седловой точке.

Если же эти минимаксы различны и внешние экстремумы в них достигаются на некоторых /* и /*, то (ср. п. 6.6)

max min Ufj .у.. min max Л/у.

7.4. Проверка существования седловых точек матрицы и их нахождение могут быть проведены по следующей схеме:

а In 2п

muifliy minfl2y

maxflji maxc/2 ... maxc/„ г i /

min maxfl;,.



Если полученные минимаксы различны, то в игре ситуаций равновесия нет. Если они равны, то все ситуации равновесия получаются как пары стратегий игроков, на которых в минимаксах достигаются внешние экстремумы.

§ 8. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ

8.1.Если минимаксы элементов матрицы А, т.е. maxminfl/y и

i ]

min max д/у, отличны друг от друга, то на основании теоремы п. 6.1 игра с / i

этой матрицей выигрьппей ситуаций равновесия не имеет.

В этом случае игрок 1 может обеспечить себе вьшгрьпп max min aij, а

i i

игрок 2 может не дать ему больше, чем min max . Вопрос же о разделе

/ i

между игроками разности min max - max min ufj (a в рассматриваемом

/ ii j

случае она положительна) остается, таким образом, открытым. Поэтому естественно, чтобы игроки в таких случаях искали дополнительные стратегические возможности для уверенного получения в свою пользу возможно большей доли этой разности. Оказьюается, что для этого им целесообразно выбирать свои стратегии случайно.

8.2.Определение. Случайная величина, значениями которой являются стратегии игрока, назьшается его смешанной стратегией. □.

Таким образом, задание смешанной стратегии игрока состоит в указании тех вероятностей, с которыми выбираются его первоначальные стратегии.

Выбор игроком одной из своих стратегий с вероятностью 1, а каждой из остальных - с вероятностью О, очевидно, означает выбор им этой выделенной стратегаи. Поэтому каждая из первоначальных стратегаи игрока также является его смешанной стратегией, их иногда назьюают чистыми стратегаями.

Так как смешанная стратегая игрока описьшается вероятностной схемой выбора им своих чистых стратегаи, ее можно представить в виде вектора, компонентами которого являются вероятности, т.е. вещественные неотрицательные числа, сумма которых равна единице.

В m X и-игре произвольную смешанную стратегаю игрока 1 мы будем обычно обозначать буквой X, полагая Х{{) = Таким образом,

= «1,...Дт),(8.1)

?10,...,?>0,(8.2)

2 ?, = 1.(8.3)

j = i

Смешанные стратегаи игрока 2 будут обозначаться через Y и для них будет приниматься Y{j) = г}.. Таким образом,

1 = (г?1,...,г?),(8.4)



7?i 0,...,7?„0,

(8.5) (8.6)

8.3.Условие (8.3) можно записать в более компактном виде. Будем далее обозначать через/р 77-мерный вектор, каждая компонента которого равна единице: /р = (1,..., 1).

Тогда равенство (8.3) можно при помощи матричного произведения переписать как= 1, где означает транспонирование вектора (т.е.

в данном случае превращение векторч;троки в векторчтолбец), а равенство (8.6) - так: /„Г=1.

8.4.Совокупность всех векторов вида (8.1) образует, как известно, «2-мерное евклидово пространство. Множество тех векторов, которые подчинены условиям (8.2) и (8.3), составляет {т - 1)-мерный симплекс, натянутый на орты

=(1,0,...,0),

Я(2> =(0,1,...,0),

Я() =(0,0, ..,1).

Такой симплекс мы иногда будем называть фундаментальным.

В случае т=2 фундаментальный симплекс является отрезком (рис. 1.4), в случае m = 3 - треугольником (pic. 1.5), в случае m = 4 - тетраэдром.

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Иногда бьюает удобно рассматривать фундаментальный симплекс сам по себе, вне его связи с объемлющим его евклидовым пространством. В этом случае координаты ii,... Лт его точек можно понимать как те неотрицательные массы, которые следует поместить в вершины симплекса для того, чтобы центр тяжести этих масс попал в данную точку. Поэтому координаты Ь > • • •, точек симплекса обычно назьюаются барицентрическими координатами, В наших условиях в роли таких масс выступают вероятности.

Чистым стратегиям игрока соответствуют такие точки, в которых одна из барицентрических координат равна единице, а остальные - нули. Очевидно, эти точки являются вершинами фундаментального симплекса.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]