назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


13

и далее

inf sup Н{х, у) sup Н{х, у*)-йН(х\у*).(6.5)

ухХг

Применяя такие же рассуждения к правой стороне неравенства (6.3), мы получим в итоге

Н(х\у*) < ЫН{х\у)< sup infЯ(л:, у\(6.6)

уX у

т. е.

inf sup Я(х, j) < sup inf Н(х, у).

ухX у

Но согласно теореме п. 3.4 противоположное неравенство также справедливо. Поэтому

inf sup Н(х, у) = sup inf Н(х, у).(6.7)

ухX у

Значит, в неравенствах (6.5) и (6.6) крайние части равны. Следовательно, равны друг пруту все части этих неравенств. В частности,

inf sup Н(х, j) = sup Щх, у*).

Таким образом, в выражении inf supЯ(x, >) инфимум достигается

у X

(именно, при у = у*),и оно может быть записано как minsupH(x,y).

у X

Точно так же из (6.6) вытекает, что

МН(х\ у) = sup inf Я(х. у),(6.8)

уX у

и поэтому вместо sup inf Я (л:, >) мы можем записать max infЯ(д:,>).

X уX у

Ввиду сказанного равенство (6.7) может быть переписано как min sup Н(х, у) = max inf Щх, у),

ухX у

а это и требовалось.

Достаточность. Пусть теперь минимаксы (6.1) существуют и равны. Обозначим через х* н у* значения переменных, на которых в них достигаются внешние экстремумы. Тогда будет

max inf Щх, у) = inf Щх*, у).

X уУ

Но, кроме того,

ЫЩх*,у)<Щх*,у*), у

так что

max inf Я(х, у) = ЫЩх\у) < Щх*, у*),(6.9)

X уУ

и аналогично

Н(х*, у*) < sup Щх,у*) = min sup Щх, у).(6.10)

- Xу X3



Ввиду предположенного равенства минимаксов (6.1) все сравниваемые в (6.9) и (6.10) выражения равны друг другу. В частности, 8ирЯ(л:,>*) =

= Н(х*,у*). Это значит, что при любом х должно быть

Щх,у*)<Н(х\у*).(6.11) Точно так же из (6.9) имеем inf Н{х*,у)-Н{х*, у*), откуда

Н{х\у*)<Н{х\у).(6.12)

Неравенства (6.11) и (6.12) означают, что (л:* у*) есть седловая точка функции Я. □.

6.2.Следствие 1.. качестве компонент седловой точки могут быть независимо друг от друга взяты июбые х* и у*, на которых достигаются внешние экстремумы в минимаксах (6.1).

Это было получено в ходе доказательства достаточности в предыдущей теореме.

В теоретико-игровой терминологии это вьп-лядит так: если игра с функцией выигрыша Я имеет седловую точку, то внешний максимум в макси-мине maxinfЯ(л:, у) достигается на оптимальных стратегиях игрока 1,

X у

3. внешний минимум в минимаксе min sup Я(х, у) - на оптимальных

у X

стратегиях игрока 2.

6.3.Следствие 2. Если (х*,у*) и (х, у) ~ седловые точки функции Я, то ситуации (х*, у) и (х, у*) также будут седловыми точками этой функции (см. рис. 1.3) .

х° X* X Рис. 1.3

Это немедленно следует из предьщущего.

Описанное свойство множесгаа седловьгх точек назьшается его прямоугольностью.

6.4. Следствие 3. Значения функции во всех ее седловых точках равны друг другу.

Действительно, из (6.10), (6,11) и (6.12) вытекает, что значения функции в ее седловых точках равны общему значению ее минимаксов, которые в случае существования седловых точек достигаются.

Таким образом, общее значение минимаксов функции выигрыша игры (если эти значения равны) равно значению игры. Поэтому исход игры, имеющей седловую точку, является предопределенным: он не зависит от искусства или глубины психологического анализа игроков, а зависит единственно от условий игры, которые исчерпьюаются заданием функции выигрыша Я Это дает основание назьгеать игры, имеющие седловые точки



(или для которых выполняется хотя бы равенство (6.2)), вполне определенными,

6.5.В результате в ходе доказательства теоремы п. 6.1 были воспроизведены другим способом все утверждения теоремы п. 4.4.

6.6.Некоторое обобщение следствия из п. 6.4 содержится в следующем утверждении.

Теорема. Если минимаксы (6.1) для функции Н существуют, т,е. если

max inf Н{х,у)ЫН{ху,у),(6.13)

X уу

min sup Н{х, у) = sup Н{х, у),(6.14)

max inf Я(л:, 7)(max .Утш) min sup Н(х, у).(6.15)

X уух

Доказательство. По (6.13) мы имеем

max inf Н{х, у) = inf Н{х, у) Н(х,УттХ X уу

т.е. левую сторону (6.15). Правая сторона получается аналогично из (6.14). □.

Мы видим, что выбор игроком 1 оптимальной стратегии дает ему выигрыш не меньший, чем значение игры, что бы ни делал при этом игрок 2. Равным образом выбор игроком 2 его оптамальной стратегии всегда причиняет ему ущерб не больший, чем значение игры. Следовательно, выбор каждым из игроков своей оптимальной стратегаи не имеет смысла скрьшать от противника.

6.7.Содержательные рассуждения участников антагонистаческой игры Г = (X, у. Я), приводившиеся-в пп. 2.4 и 2.5, в связи с теоремой п. 6.1 могут быть в случае игры с седловыми точками видоизменены следующим образом.

Игрок 1 может сказать: "Пусть я выберу стратегаю х; тогда в худшем случае я получу min Н(х, у). Поэтому осторожность требует выбора с моей

стороны стратегаи, на которой достигается

max min Н(х, у).(6.16)

X у

Этот максимин я получу обязательно, какбы ни складывались обстоятельства".

Аналогачные рассуждения приведут игрока 2 к тому, что больше минимакса

min max Н(х, у)(6.17)

у X

он игроку 1 не даст.

Так как, однако, в нашем случае минимаксы равны, при разумной игре каждого из участников итогом игры будет уплата игроком 2 игроку 1

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]