Таким образом, аффинно эквивалентные игры имеют одни и те же сед-ловые точки. Согласно п. 4.5 отсюда следует, что и (Г ) = kv (Г) + а, а согласно п. 4.6-что 8(Г) = §(Г) ИсГ(Г) = .(Г)- □

5.3.Теорема. 1) Если тг - изоморфизм игры Г = (х, у,Я > на игру г =<х,у,Я>,го

ад)=7г,(г), /=1,2,

(Г)=7Г(Г),

кг) =»;(Г).

2) Если тг - зеркальный изоморфизм Г на Г /то

l(r) =7Г2(Г), 2(Г) = 7Г1(Г),

(5.4)

(Г) =7Г(Г),

v(r) =-и(Г).(5.5)

Доказательство. 1) Пусть тг = (тг!, 7Г2) - изоморфизм Г на г .Соотношение (х\у*) е(Г) означает, что Н (х, у*) Н (х*, у*) при любом л: Е X. При переходе к ситуациям игры Г на основании определения изоморфизма получаем H(t[iX, 1Г2У*)(пх*, 7Г2У*) при любом л: Е X, или, ввиду однозначности отображения тг, при любом 7Г1Х Е х. Это значит, что (7Г1Л:*, 7Г2>*) Е i(r). Таким образом, 7г1 (Г) С i(r). Но по симметрии изоморфизма должно быть и 1 (Г ) С 7г1 (Г), так что 1 (Г ) = 7г1 (Г).

Аналогично устанавливается, что 2 (Г ) - (Г), после чего можно применить (5.3).

Наконец,если (х*,у*) её(Г),то,во-первых,

Hix\y*) = v(r),(5.6)

а, во-вторых, по доказанному

7Г(Х*,>*) = (7Г1Х\7Г2*)Е2(Г),

и поэтому

H(7ix\n2y) = v(r).(5.7)

На основании определения изоморфизма левые части (5.6) и (5.7) равны; отсюда следует, что v (Г ) = и(Г).

2) Устанавливается почти такими же рассуждениями. Единственное отличие состоит в том, что вместо приравнивания левых частей равенсп. (5.6) и (5.7) следует воспользоваться равенством Н(х*,у*) =

= -Я(7Г23;*,7Г1Х*). □

5.4.Первая часть доказанной теоремы означает, что с точки зрения приемлемости и равновесности ситуаций или оптимальности стратегий игроков изоморфные игры не отличаются друг от друга. Вместо класса всех изоморфных друг другу игр достаточно рассматривать какую-нибудь одну игру из этого класса: все ее оптимизационные свойства будут присущи и всем изоморфным ей играм.

Вторая часть доказанной теоремы приводит к более глубоким (хотя, в сущности, столь же простым) следствиям. Из нее вытекает принцип двойственности для антагонистических игр, который может быть сформулирован следзлющим образом.

Пусть некоторый класс игр CfC является "зеркально-замкнутым", т.е. вместе с каждой своей игрой содержит зеркально изоморфную ей (так как все игры, зеркально изоморфные данной, изоморфны друг другу, мы, в соответствии с только что сказанным, можем говорить об одной зеркально изоморфной игре). Таким классом является, например, класс всех антагонистических игр или класс всех матричных игр.

Пусть, далее, Т - теорема, справедливая для всех игр из класса CfC. Произведем в формулировке Т следующие переименования:

Игрок 1Игрок 2

Игрок 2 Игрок 1 Функция Н Функция -Д

и обозначим полученную теорему через Г *. Тогда теорема 7* также справедлива для всех антагонистических игр из класса CfC . Теорема Г* будет называться двойственной к теореме Т. Очевидно, и наоборот, теорема Т двойственная к теореме Г*.

Ввиду такой возможности мы далее будем все общие теоремы о свойствах оптимальных стратегий игроков и их связях со значением игры формулировать и доказывать лишь для стратегий игрока 1.

Описанную связь между утверждениями, относящимися к стратегиям игрока 1, и утверждениями, относящимися к стратегиям игрока 2, мы далее будем называть принципом двойственности для антагонистических игр.

5.5 Следствие. Если антагонистическая игра Г симметрична (т.е. имеет зеркальный автоморфизм), то § (Г) = (T)uv(T) = 0. Это вытекает непосредственно из (5.4) и (5.5).

5.6. Инвариантность седловых точек относительно соотношения между игрой и ее подыгрой выражается в виде следующей простой, но принципиальной теоремы, которая называется теоремой о независимости от посторонних альтернатив.

Теорема. Если в (5.1) Г является подыгрой Г, то

€,(Г) П (х X у) С ,(Г), /=1,2,(5.8)

(Г)П(хХу)С(Г).(5.9)

Доказательство. Если i(r) П (х,у) = 0, то (5.8) выпол-1яется тривиальным образом. Возьмем теперь (л:*,/*) G /(Г) П П (х X у). Поскольку (х*,у*) есть приемлемая ситуация для игрока 1 в игре Г, должно быть Н(х,у*)< Н(х*,у*) при любом хG х. Тем более это соотношение должно выполняться при любом л: G х. Но G у, так что функцию Я можно понимать в этом неравенстве как Я. В результате мы получаем (х*,у*) G (Г ).

Случай i - 2 рассматривается аналогично, а (5.9) ползд1ается пересечением частей включений из (5.8). □

5.7. Как показывает следующий пример, включение (5.8), при всей тривиальности его доказательства, обращению не поддается. Пусть Г = и Г =Г, где

2i л - обведенная подматрица матрицы А, Здесь, очевидно, пересечение (Г) П п (х* Ху) состоит из единственной ситуации, соответствующей элементу матрицы из ее левого верхнего угла, а (Т*) состоит из всех (четырех) ситуаций матрицы Л

5.8. Переносить свойство независимости от посторонних альтернатив с седловых точек на оптимальные стратегии игроков, вообще говоря, нельзя: соотнощение SiT) п п х с (S(r) выполняться не обязано. В качестве примера достаточно рассмотреть игры и , где

а >1* - обведенная подматрица. Здесь (А) п х состоит из обеих стратегий игрока 1, а (S (Л*) - только из одной (именно, второй) его стратегии.

5.9. Вместе с тем для некоторых видов подыгр перенесение свойства независимости от посторонних альтернатив на оптимальные стратегии возможно.

Теорема. Пусть Г - игра, а т - ее подыгра из (5.1). Тогда

изу = у следует §{Т)пх (Z 8{Т).(5.10)

Доказательство. Отвлекаясь от тривиального случая <(Г) Пл: =ф, возьмем X {Т) п х и*произвольное у G Г(г), Тогда {х,у). (Г) п Г(Г) = = (Г), и по теореме п. 5.2 (х,уУ <(Г),т.е. (г). □

§6. СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ И МИНИМАКСЫ

6.1. Оказывается, что максиминный (минимаксный) подход к оптимальности В антагонистических играх равносилен стремлению игроков к седло-вым точкам В них. Эта равносильность выражается следующей теоремой.

Теорема. Для того чтобы функция Н(х,у) на произведении хХу имела седловые точки, необходимо и достаточно, чтобы существовали (т.е. достигались) минимаксы

max inf Я(л:, jv), min sup Я(x, j)(6.1)

X уух

и выполнялось равенство

max inf Я(х, у) = min sup Н(х, у).

X уух

(6.2)

Доказательство. Необходимость. Пусть функция Я имеет седловые точки и {х*,у*) - одна из них. Это значит, что

Н{х,у*)<Н{х\у*)<Н{х\у\ JcGx, уу.(6.3)

Здесь Н{х*,у*) является константой. Поэтому, применяя к левой стороне этого неравенства утверждение п. 3.3, мы получаем

supЯ(x,J;*)<Я(xJ*)(6.4)