назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


10

Если Г = тгГ, где тг - изоморфизм, то

v,=v. v,=v.(2.9) Если г = 7гГ, а -л - зеркальный изоморфизм, то

v> = -v. v.=-ii,(2.10)

Доказательство. Для доказательства (2.7) достаточно написать v,= sup miH\x, у) V sup inf (кН(х, y)-a) =

X уX у

= ksup inf Н(х, y)-ba=kv +a,

X у

Соотношение (2.8) доказьшается аналогично. Если тг - изоморфизм Г на Г, то

v,= sup inf Н(7гх, Try) = sup inf H(x, y) = v,

7TX nyX у

И МЫ получили (2.9), а если тг - зеркальный изоморфизм, то

Vj.= supinf Н(7тх, тту) = sup inf (-Н(х, у)) = -inf supH(x, у) = -v

ттх ттуухух

дает (2.10). □

§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭКСТРЕМУМОВ

3.1.Из сказанного в предыдущем параграфе видно, что для антагонистической игры Г = < X, у, Я> существенный интерес представляют минимаксные характеристики ее функции выигрыша:

sup inf Н{х,у), inf sup Н{х,у).(3.1)

jjcex уууухх

Разумеется, здесь и дальше во всех случаях, когда будет установлена достижимость тех или иных экстремумов из (3.1), мы получим основание называть супремумы -максимумами, а инфимумы - минимумами.

3.2.Далее нам понадобится следующая лемма о монотонности экстремумов. Лемма. Если f,g: z-Ru при любом z G z имеет место

fiz)Sg(z),(3.2)

sup/(z) sup giz),(3.3)

2 GZ2 GZ

inf /(z) inf g(z).(3.4)

z GZz Gz

Доказательство. Возьмем произвольное e > О и найдем такое z G z, что

sup /(z) /(Ze) + e. z GZ

Тогда В силу (3.2) должно быть

sup /(z) < f(z)g (z) + e sup g (z) + e,

Z GZ2 G Z

и ссьшка на произвольность е > О доказьшает неравенство (3.3). Неравенство (3.4) доказьшается аналогично.□



3.3.Следствие. Пусть g: z->RwflGR Тогда, если при любом z G z имеет место f(z) а, то

sup /(z) а, zGZ

а если при любом z G z имеет место а S g(z),to

а< inf g(z). z ez

Для доказательства первой части утверждения достаточно положить в предыдущей лемме g (z) = а для доказательства второй части - положить / (z) = а,О

3.4.Теорема (неравенство минимаксов). Если Я: х X у R, го

sup inf Н(х,у)< inf sup Я(jc,7).(3-5)

хх ууу ух х

Доказательство. Пусть х - произвольный фиксированный элемент множествах. Тогда для любого у у должно быть

Н(х.у) sup Н{х,у). л: е X

Ввиду фиксированности х е х слева здесь стоит функция от у, и мы оказываемся в условиях второй части леммы п. 3.1, согласно которой

inf Н(х,у)< inf sup Н(х,у). уууу хх

Справа здесь находится константа, а значение х было выбрано произвольно. Значит, мы находимся в условиях первой части следствия п. 3.2, применение которой дает нам (3.5).□

3.5.в конце п. 2.6 было отмечено, что неравенство (3.5) представляется естественным с теоретико-игровой точки зрения. Продолжим его анализ.

Если в соотношении (3.5) имеет место равенство, то игрок 1 получает ровно столько, какой предел его устремлениям кладет игрок 2. В этом случае использование игроками соответственно принципов максимина и минимакса (а, как отмечалось в п. 2.6, в таких случаях принято говорить об использовании принципа максимина обоими игроками) приводит к полному определению значений вьшгрышей игроков в антагонистической игре. Такую игру принято назьшать вполне определенной, а принцип максимина применительно к ней - реализуемым.

Если же неравенство (3.5) является строгим, то игрок 1 может обеспечить себе получение меньшей суммы (максимин), чем предел, граница его вьшгрыша, устанавливаемая игроком 2 (минимакс). Разность между минимаксом и максимином ока-зьшается тем количеством, разумное С оптимальное") разделение которого между игроками остается открытым. В этом случае использование игроками принципа максимина не приводит к определению значений вьшгрышей игроков и остается нереализуемым.

3.6.в дальнейшем нам понадобится еще одно следствие леммы п. 3.2. Лемма. Если f,g: z~R и при любом z е z

\f(z) -g{z)\ е,(3.6)

sup/(z)-sup(z) е(3.7)

(справедливо и аналогичное неравенство, относящееся к инфимумам, но оно нам не понадобится).

Доказательство. Неравенство (3.6) можно записать в виде двойного неравенства (z) - e/(z) giz) + е, или, пользуясь леммой п. 3.2,

sup(z) - е sup /(z) sup(z) + е,

что и означает (3.7). □



3.7. Приведем в заключение следующее очевидное утверждение. Лемма. Если /: x--R ы у с х, го

inf /(z) inf /(z), zGxz Gy

sup /(z) sup /(z).

z GyZ G X

(3.8) (3.9)

§ 4. СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ (СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ)

4.1. Подойдем к вопросу об оптимальности поведения игроков в антагонистической игре с несколько иной стороны. Впрочем, как это выяснится в следующем параграфе, этот новый подход окажется равносильным тому максиминному (минимаксному) подходу, который был изложен в § 2.

Естественно считать в антагоьшстической игре оптимальной такую ситуацию, от которой ни для одного из игроков невыгодно отклониться. Такие ситуации вводятся посредством следующего определения.

Определение. В антагонистической игре

Г = <х,у,Я>

ситуация {х*,у*) назьшается приемлемой для игрока I, если Н{х,у*)<Н{х*,у*) при любом xGx.

Аналогично ситуация (х*, ;;*) назьшается приемлемой для ка 2, если

Н{х*,у*)" Н(х*,у) при любом jGy.

(4.1)

(4.2) игро-

(4.3)

Множество всех ситуаций в игре Г, приемлемых для игрока 1, обозначается через if 1 (Г), а приемлемых для игрока 2 - через "г (Г).

Эпитет "приемлемый" представляется в данном случае вполне естественным: если ситуация не является приемлемой для игрока, то он может, изменив свою стратегию, увеличить свой вьшгрыш, т.е. с выгодой для себя отказаться от этой ситуации.

4.2. Определение. В антагонистической игре Г = < х, у,Я > ситуация (х*, у*) называется равновесной или ситуацией равновесия, или седло-вой точкой игры, если она приемлема для каждого из игроков, т.е. если имеет место двойное неравенство, являющееся объединением неравенств

Рис. 1.1

Рис. 1.2

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]