назад Оглавление вперед


[Старт] [ 1 ] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


1

ПРЕДИСЛОВИЕ

Главная цель данной книги состоит в том, чтобы предоставить в распоряжение студентов экономических специальностей достаточно простое и доступное руководство, содержащее элементарное изложение основ математического аппарата теории игр. Уровень математических требований, предъявляемых читателю, примерно соответствует уровню математической подготовки экономистов по специальности "Экономическая кибернетика" к концу второго курса. Именно в этом смысле и следует понимать адресование этой книги экономистам-кибернетикам. Вместе с тем ее могут использовать студенты и научные работники других экономических и инженерных специальностей, а также студенты-математики, для которых она может послужить пособием при начальном, предварительном изучении теории игр.

Основу первого варианта книги, вышедшего под названием "Теория игр. Лекции для экономистов-кибернетиков" (Изд. ЛГУ, 1974), составил курс лекций, многократно читавшийся автором студентам третьего курса специальности "Экономическая кибернетика" экономического факультета Ленинградского государственного университета им. А.А. Жданова. Предлагаемый читателю новый вариант курса составлен по тому же общему плану, что и предьщущий, но отличается от него большей систематичностью и завершенностью изложения. Всюду, где это возможно, автор стремился придать теоретико-игровым рассуждениям надлежащую математическую строгость и разумную общность.

Формальные требования, предъявляемые к конкретным математическим знаниям читателя данного руководства, весьма скромные. Они не выходят за пределы элементарных вопросов линейной алгебры и математического анализа и начальных сведений по теории вероятностей. Исключения составляют лишь теоремы о неподвижной точке и рассуждения, связанные с интегралом Стилтьеса. Впрочем, при всей своей глубине они достаточно наглядны и "правдоподобны". Один раз употребляется теорема Хелли о пересечениях вьшуклых множеств. Автор полагает, что включающий ее комбинаторный вариант рассуждений в конечном счете оказывается более естественным, чем линейно-алгебраический. Безусловно необходимым предполагается владение читателем "математической азбукой", т.е. умение читать математические выражения и понимать взаимосвязь их отдельных частей.

Приводимые в книге математические рассуждения являются не только элементарными, но, за немногими исключениями, и сравнительно просты-



ми. Однако тривиальными их назвать никак нельзя, а при формировании теории игр они складываются в довольно сложную логическую структуру. Отчетливое представление о ней в целом может потребовать от читателя известных усилий. Вместе с тем понимание каждого отдельного места книги, по-видимому, не составит труда: в доказательствах теорем упомянут практически каждый логический шаг, а решение каждой задачи доведено до завершающей формулы или хотя бы до расчетной методики.

Теория игр относится к математаческому обеспечению социально-экономической проблематики. Поэтому применительно к ней можно говорить о различных аспектах математического обеспечения. В данной книге внимание обращается на концептуальный, методологический, методический и алгоритмический аспекты; бегло затрагиваются аспекты проблемный и модельный; напрогав, информационный, программный, технический и организационный аспекты не рассматриваются вовсе.

В процессе изучения теории игр учащемуся приходится осваивать довольно большое число новых для него и во многом непривычных понятий. Кроме того, практика преподавания теории игр экономистам и, тем более, самостоятельное ее изучение допускают различные по объему и по содержанию варианты программ. По этим двум причинам автор в построении данного курса допустил некоторые черты "концентризма", воспроизведя отдельные идеи и даже логические конструкции первой главы в более общем виде в последующих главах книги. По тем же мотивам основному тексту книги предпослано "Введение", излагающее в несколько тезисной форме содержание и назначение курса теории игр.

Начальный характер курса и его ориентация- на читателя-экономиста предопределили и отбор включенного в нее материала. Так (даже если говорить только об элементарных вопросах теории игр), за его рамками осталась теория динамических (позиционных) игр, как менее важная для экономистов, а также вопросы устойчивости конфигураций в кооперативной теории и теория игр без побочных платежей (в том числе - теория арбитражных схем), которые следует рассматривать при дальнейшем, более глубоком изучении теории игр.

Весь содержащийся в книге материал по своему объему существенно превосходит то, что удается прочесть за один семестр при одной лекции в неделю. Однако для преподавателя не составит труда вьщелить те вопросы, которые можно перенести на практические занятия или исключить из курса вовсе. Чтобы облегчить ему решение этой задачи, параграфы и пункты книги, содержащие более сложный (ив соответствии с этим - менее обязательный) материал, отмечены знаком *. Места, носящие вспомогательный, не относяпщйся к теории игр, или же иллюстративный характер, набраны петитом.

Соображения, положенные в основу списка рекомендованной литературы, видны из его структуры.

Автор весьма благодарен А.И. Соболеву, внимательно прочитавшему рукопись и сделавшему немало критических замечаний. Автор надеется на дальнейшую критику со стороны читателей.

Вырица, 1984 г.Н.Н. Воробьев



ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Основной рассматриваемый в данной книге объект - игра - представляет собой теоретико-игровую конструкцию, в образовании которой участвуют множества с элементами различной природы.

Для элементов большинства вводимых далее множеств мы будем использовать следующие обозначения:

/, /, к - игроки в бескоалиционной игре;

Х(, xl, ... - чистые стратегии игрока i в бескоалиционной игре;

X/, Х(, Yf,... - смешанные стратегии игрока / в бескоалиционной игре;

X, jCj, jc,... - чистые стратегии игрока 1 в антагонистической игре;

У.УгУу- - чистые стратегии игрока 2 в антагонистической игре;

X,Y- смешанные стратегии игроков 1 и 2 в антагонистической игре;

X, х\у,... - ситуации (в чистых стратегиях) в бескоалиционной игре;

Х,Х,У,... - ситуации в смешанных стратегиях в бескоалиционной игре.

Таким образом, чистые стратегаи и составленные из них ситуации обозначаются строчными светлыми буквами, а соответствующие им смешанные стратегаи - светлыми прописными буквами.

Множество, по словам Г. Кантора, есть "многое, понимаемое как единое". Для некоторых конкретных множеств вводятся специальные обозначения:

ф - пустое множество;

{а,Ь,с,. ..) - множество, состоящее из элементов а, Ь, с;

{а} - множество, состоящее из единственного элемента а; обычно оно будет для простоты обозначаться как а;

[а: ip(a)} - множество всех элементов вида л, обладающих свойством «р;

R - множество всех вещественных чисел,

я" - множество всех вещественных «верных векторов;

R" - множество всех неотрицательных л-мерных векторов.

Основные соотношения между множествами и действия над ними описываются следующим образом:

аА - принадлежность элемента а множеству Л;

\А\- число элементов в конечном множестве Л;

А С В - множество А является подмножеством (частью) множества;

Аи В - обьединение (сумма) множеств А и В; п

иЛ/ - объединение множеств /Ij, 1=1

А2,...»Aj;

А п В - пересечение (общая часть) множеств А и В; п

П Af - пересечение множеств А, /=1

Af • . f An,

А\В - разность множеств А и В;

А ХВ - Декартово произведение множеств А и В, т.е. множество всех пар вида {а, Ь), где а я ЬВ] п

П Af - декартово произведение 1 = 1

мнoжecтвЛт.е. множество всех упорядоченных систем вида (д.

ЕЛ,,...

. ., ,fl„G>4„ ;

/: А -В - фзшкция, заданная на множестве А со значениями в множестве В\

В - множество всех функций вида /: Л-В\

/ = { 1, 2,... ,л} - множество всех игроков в бескоалиционной игре;

/ = { 1, 2,, .. , W,-}- множество всех чистых стратегаи игрока / в бескоалиционной игре;

X/ - множество всех смешанных стратегий игрока / в бескоалиционной игре;5

[Старт] [ 1 ] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]