крайней мере один относительный экстремум. Поскольку на этом интервале оценочное TWR положительно, то есть расположено над осью X, на нем должен содержаться, по меньшей мере, один максимум.

Фактически, на этом интервале может быть лишь один максимум, так как изменение среднего геометрического HPR (среднее геометрическое HPR является корнем степени Т из TWR), согласно теореме Пифагора, впрямую зависит от AHPR и дисперсии, когда оба они при изменении /изменяются в противоположных направлениях. Этим гарантируется единственность вершины. Таким образом, на данном интервале должен быть максимум, и он может быть только один.

Теперь вернемся к уравнению [1.06] и вновь рассмотрим игру в монетку с выплатой «два-к-одному». У нас имеется две сделки, или два возможных сценария. Взяв первую производную от [1.06] по /, получим:

flTTWR df

- trade

biggest loss

)). (

- trade.

biggest loss

- trade

biggest loss

) * (l +/* (

- trade biggest loss

[1.16]

При количестве сделок большем двух можно использовать эту же формулу, но она сразу же сильно разрастается. Поэтому для простоты мы остановимся лишь на двух сделках. В этих условиях для серии исходов +2, -1 при /= 0,25 будем иметь:

dTWR df

cTTWR df

dTWR df

((1 + 0,25((;)*(l. 0,25 *r l

((1 + 0,25 * 2) * -1) + (2 * (1 + 0,25 * -1))

((1 +0,5)*-l) + (2 * (1-0,25))

= (l,5*-l) + (2.0,75))

dTWR df

= -1,5 +1,5 = 0

Как видим, функция достигает вершины при /= 0,25, где наклон касательной равен нулю, то есть точно при оптимальном / и никакого другого локального экстремума сушествовать не может из-за ограничений, накладываемых теоремой Пифагора.

Наконец, покажем, что оптимальное / не зависит от Т. Взяв первую производную от оценочного TWR в форме [1.13] по переменной Т, получим:

i)T/2 * In {А - S")

[1-17]

Поскольку In (1) = 0, то при том значении /, когда А-iS= 1, функция достигает вершины - максимума TWR, завися-шего лишь от/ Отметим также, что и А (среднее арифметическое HPR) и S (стандартное отклонение этих HPR) не являтся функциями от Г - они не зависят от него. Поэтому [1.13] не зависит от Т при оптимальном f То f которое оптимально в смысле максимизации оценочного TWR, всегда будет иметь одно и то же значение, независимо от Т.

Ответ критикам

Вскоре после того, как в 1990 г. были опубликованы эти формулы, некоторые загорелись идеей поиска оптимального / с помошью моделирования по методу Монте Карло. Одно из наиболее серьезных замечаний относительно этих формул состояло в том, что они игнорируют необходимость торговли целочислен-

ными количествами контрактов, например, что нельзя торговать 0,37 контракта на золото. Тогда как метод Монте Карло позволяет определить оптимальное /с учетом реальных ограничений, допускающих торговлю только целыми количествами контрактов.

Способ моделирования по Монте Карло в данном случае мог бы выгладеть следующим образом. Предположим, у вас имеется начальный капитал величиной, скажем, в 50000 долл. Возьмите все сделки и бросьте их в мешок, а затем вытаскивайте их обратно по одной. Каждый раз, вытащив одну сделку, рассчитайте новую величину вашей ставки на основе значения / которое вы сейчас тестируете. Повторяя это вновь и вновь, вы сможете взять за оптимальное /то, которое фактически дало вам наибольший выигрыш.

Все это прекрасно. Однако метод, впервые предложенный в 1990 г., даст вам оптимальное /для всех возможных значений начального капитала. То есть он дает оптимальное / учитывая все возможные начальные условия. Во-вторых, с ростом начального капитала оба метода: и формулы 1990 г., и метод Монте Карло - дают все более близкие значения оптимального / В-третьих, чем меньше целочисленный размер ставки, тем ближе сходятся оба подхода. То есть чем меньшей единицей вы пользуетесь в торговле (т. е. чем точнее приближаетесь к дробным ставкам), тем ближе сходятся оба подхода и лучше становятся результаты обоих. Следовательно, чем чаще вы уточняете целочисленное число торгуемых контрактов при изменении вашего торгового счета, тем больше получите от максимизации ожидаемого значения логарифма капитала. Благодаря этом}/ торговля овсом может оказаться прибыльней торговли индексом S&P.

Наконец, вам вовсе не нужно использовать при расчете значений HPR долларовые величины. Выразив исходы за периоды владения в процентах, при расчете значений HPR возьмите наибольший процент проигрыша и найдите значение оптимального /по процентным исходам. Далее, переходя к формуле [1.08], возьмите наибольший процент проигрыша, умножьте на текущую цену актива и примите результат за наибольший проигрыш на сделку, как это показано ниже.

/$ =

abs(biggest losing percentage * current price) optimal /

[1.18]

Введение в портфели с оптимальным f

Помимо прочего в книге 1990 г. был дан способ определения оптимальных величин /для компонентов портфеля.

Начнем с того, что, когда мы работаем с компонентами портфеля, нужно использовать одинаковые периоды владения. То есть период владения нельзя более отождествлять с продолжительностью сделки. Теперь это должен быть какой-то единый период времени - день, неделя, месяц, квартал или год. Я предпочитаю использовать день, но от вас этого не требуется. Нужно лишь, чтобы вы использовали стандартный период времени при определении всех HPR, и его продолжительность должна быть неизменной от одного рынка к другому, от одного метода торговли к другому. Поэтому, если длительность вашего периода владения равна, скажем, одному дню, значит, вы определяете значения HPR, исходя из изменений счета от торговли единицей актива за день.

Для применения формул 1990 г. к портфелю нужно изменить только выражение [1.05], чтобы учитывать более одного компонента:

/л / -trade., \\ HPR,= l+(z/,*( biggest Ioss ))

[1.19],

где:

HPR = HPR за к-й. период владения;

сделка; = изменение капитала от торговли одной единицей /-Г0 компонента за А:-й период;

максимальный проигрыш = самое большое отрицательное изменение капитала по этой компоненте на единицу актива за все периоды владения;

п = количество компонент в портфеле;

/ = / ассоциированное с г-й компонентой.

Таким образом, вам нужно найти п оптимальных значений / по одному на каждый компонент. Заметьте также, что хотя значения /не могут быть меньше нуля, каждое из них может быть больше единицы. Причина этого в том, что если между двумя компонентами имеется достаточно высокая отрицательная корреляция, то соответствующие им значения / будут стремиться к бесконечности.

Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим два потока исходов. Первый из них приносит два доллара в первом исходе и теряет один доллар во втором исходе. Второй поток теряет 1,10 доллара в первом исходе, но приносит один доллар во втором. То есть:

Holding Period* Stream 1

Stream 2

2 -1

-1,1 1

Обратите внимание, что вы можете назначить оптимальное /для этих двух потоков, равным бесконечности (тогда /$ будет бесконечно мало, и у вас будет бесконечное количество единиц), ибо суммарно нет ни одного убыточного периода владения. Заметьте также, что торговля этим портфелем много агрессивнее торговли первого потока с оптимальным / равным 0,25. Наконец, отметьте, что хотя поток 2 имеет отрицательное математическое ожидание, благодаря отрицательной корреляции с потоком 1, торгуя ими одновременно, вам следовало бы задействовать бесконечное количество единиц актива! То есть иногда подключение компонента с отрицательным математическим ожиданием повышает общую эффективность портфеля.

Приемы работы, описанные в книге 1990 г., имели эмпирический характер. То есть при определении портфеля они опирались на реальные данные. В книге 1992 г. было показано, как можно работать с оптимальными / для компонентов портфеля в рамках E-V-модели. Оба эти подхода, эмпирические методы 1990 г. и E-V-модель 1992 г., имеют свои недостатки. Они настолько серьезны, что заставили меня взяться за эту книгу.

Прежде чем продолжить, следует упомянуть еще одно обстоятельство, касающееся портфелей. Предположим, что у нас есть счет в 50000 долларов и портфель, состоящий из двух компонентов. Оптимальное инвестирование в эти компоненты, или оптимальные /$ для компонентов, - это 5000 и 10000 долларов, соответственно. Спрашивается, как нам поделить 50000 долларов между двумя этими компонентами, исходя из их /$?

Ответ очень прост. Во-первых, разделите все 50000 долл. на первую компоненту /$. Это даст 50000/5000 = 10. Это означает, что нужно торговать десятью единицами первой компоненты. Во-вторых, возьмите ту же сумму, 50000 долл., и разделите ее на/$ второй компоненты. Это даст 50000/10000 = 5. То есть, нам нужно было бы торговать пятью единицами второй компоненты. Другими словами, в случае портфеля все компонентные /$ делят один и тот же счет, что отражает элемент пересечения инвестиций, объективно свойственный процедуре определения количества контрактов (формула [1.09]) при формировании портфелей*.

Заблуждения относительно текущих потерь и диверсификации

Нетрудно понять, что при торговле одной единицей метод торговли будет выглядеть тем лучше, чем больше оптимальное/ Поэтому, чем меньше /$, тем больше будут задействованные позиции. В этом заключается некий парадокс. Заметьте, что при каком бы / мы ни торговали (а у нас всегда есть какое-то f), максимальные текущие потери означают сокращение торгового счета на/%. Так, например, в орлянке «два-к-одному» оптималь-

* Подробнее см. «Опе Combined Bankroll Versus Separate ВапкгоН» книги Ральфа Винса The. Mathematics of Money Management, New York; Wiley, 1992, pp. 68-70.