Хотя (1 + i?) есть то же самое, что HPR, мы можем сказать, что большинство ошибается, считая, что функция роста* , или TWR, задается формулой:

TWR = HPR"

А это верно лишь тогда, когда доход (т. е. HPR) постоянен, чего в торговле не бывает.

Настоящая функция роста в торговле (или в любой другой сфере с переменным HPR) есть произведение значений HPR. Предположим, что мы торгуем кофе и наш оптимальный /- это один контракт на каждые 21000 долларов торгового счета. Пусть проведено две сделки, первая из которых принесла убыток в 210 долл., а вторая - доход в 210 долл. (соответствующие значения HPR равны 0,99 и 1,01). В таком случае TWR был бы равен:

TWR= 1,01 * 0,99 = 0,9999.

Для лучшего понимания этого можно использовать оценочное среднее геометрическое (EGM), которое довольно точно аппроксимирует среднее геометрическое из выражения [1.07]:

где:

G=V- V

[1.10а]

[1.10b],

G - среднее геометрическое HPR;

* Многие ошибочно используют среднее арифметическое HPR в формуле для HPR. Как здесь показано, это не даст истинного TWR за Т игр. В формуле для HPR нужно использовать среднее геометрическое от значений HPR, а не среднее арифметическое. Это даст истинную величину TWR. Если же стандартное отклонение значений HPR равно О, то среднее арифметическое и среднее геометрическое HPR эквивалентны, и можно использовать любое из них.

TWR = (V2->?)

[1.11],

где:

Т - количество периодов;

А - среднее арифметическое HPR;

S - стандартное отклонение совокупности значений HPR.

Суть полученного результата заключается в том, что теперь мы можем математически представить зависимость между ростом средней арифметической сделки (HPR) и дисперсией значений HPR, то есть причину, по которой система В (70%, «один-к-одному») более эффективна, чем система А (10%, «двадцать восемь-к-одному»).

Мы должны стремиться к максимальному приросту функции, заданной формулами [1.10а,Ь], или, говоря буквально, к максимизации квадратного корня из квадрата среднего арифметического HPR за вычетом дисперсии значений HPR.

Показатель степени Т в оценочном TWR позаботится о себе сам. Другими словами, увеличение Т не составляет проблемы, ибо мы всегда можем увеличить количество рынков, на которых торгуем, использовать более краткосрочные торговые системы и так далее.

Формулу [1.10а] можно переписать в виде:

A=G + S

[1.12]

Это позволяет понять существо зависимости. Обратите внимание, что по форме - это знакомая теорема Пифагора, глася-

А - среднее арифметическое HPR;

S" - стандартное отклонение значений HPR;

V - дисперсия значений HPR.

Теперь для для получения оценки TWR возведем уравнения [1.07] и [1.10а,Ь] в степень Т. Эта оценка будет весьма точно аппроксимировать мультипликативную функцию роста, или настоящее TWR, из формулы [1.06]:

щая, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его сторон (рис. 1.6)! Здесь гипотенуза равна А, а максимизировать нам нужно одну из сторон - G.

Большинство трейдеров ошибочно максимизируют гипотенузу

Трейдеры должны максимизировать этот катет

Рис. 1.6. Теорема Пифагора в управлении капиталом.

При максимизации G любое увеличение S нужно компенсировать увеличением А. Если S равно нулю, то А равно О, что приводит к неверному толкованию функции роста TWR как (1 + R).

Отсюда, характеризуя относительное влияние А vi S па. G, мы можем утверждать, что приращение А эквивалентно соответствующему уменьщению S, и наоборот. То есть любое уменьще-ние величины дисперсии по сделкам (в смысле уменьшения стандартного отклонения) эквивалентно увеличению среднего арифметического HPR. Это верно вне зависимости от того, торгуем мы на оптимальном / или нет.

Если трейдер торгует на основе фиксированной доли счета, то ему нужно максимизировать G, но не обязательно А. Максимизируя G, трейдер должен понимать, что, согласно теореме Пифагора, стандартное отклонение S влияет на G точно в той же пропорции, как и А\ То есть, если трейдер уменьшает стандартное отклонение {S) для своих сделок, то это эквивалентно соответсвующему увеличению среднего арифметического HPR {А), и наоборот!

Фундаментальное уравнение торговли

Мы можем пойти гораздо дальше, не ограничиваясь лишь пониманием того, что сокращение потерь, или дисперсии в сделках, улучшает конечные результаты торговли. Вновь обратимся к формуле [1.11], аппроксимирующей величину TWR. Поскольку (Х = Х**, мы можем далее упростить показатели степени в [1.11], приведя его к виду:

ТШ = {А-8)

[1.13]

Это последнее выражение, упрощающее формулу аппроксимации TWR, мы будем называть фундаментальным уравнением торговли, поскольку оно описывает, каким образом различные факторы А, S Т влияют на конечные результаты торговли.

Отметим несколько вполне очевидных моментов. Во-первых, если А меньше или равно единице, то вне зависимости от двух других переменных, S vi Т, наш результат не может быть больше единицы. Если А меньше единицы, то при стремлении Т к бесконечности, А стремится к нулю. Это означает, что если А меньше или равно единице (математическое ожидание меньше или равно нулю, ибо оно равно А - 1), то у нас нет ни шанса на получение прибыли. По сути, если А меньше единицы, то наше разорение - это лишь вопрос времени.

Если А больше единицы, то с ростом Т увеличивается и наша общая прибыль. Ведь каждая следующая сделка умножает коэффициент прибыли на квадратный корень из него.

Каждый раз, увеличивая Т на единицу, мы наращиваем TWR кратно квадратному корню из среднего геометрического. То есть каждый раз, когда происходит сделка, или истекает HPR, Т увеличивается на единицу и коэффициент прибыли умножается на среднее геометрическое.

Значимость фундаментального уравнения торговли заключается в том, что из него следует, что, уменьшая стандартное отклонение в большей степени, чем среднее арифметическое HPR,

МЫ улучшаем наш конечный результат. Поэтому имеет смысл по возможности ограничивать убытки - это приносит пользу. Вместе с тем уравнение показывает, что в некоторой точке ограничение потерь станет уже неблагоприятным. В этой точке вы будете с небольшими потерями выходить из слишком большого количества сделок, которые позже окажутся прибыльными, тем самым снижая А больше, чем S.

Аналогичным образом, уменьшение числа крупных выигрышных сделок будет способствовать итоговому успеху, если это сокращает А больше, чем S. Во многих случаях этого можно добиться, включив в свою торговую программу опционы. Небесполезной может оказаться опционная позиция, направленная против вашей позиции по основному активу (покупка или продажа соответствующего опциона).

Как видите, фундаментальным уравнением торговли можно воспользоваться для решительного и многогранного изменения нашей торговли. Этого можно добиться путем приближения или удаления стоп-приказов, задания ценовых ориентиров и т.д. Необходимость изменений диктуется неэффективностью нашего способа ведения торговли, а также неэффективностью наших торговых профамм или методологии.

Существует ли оптимальное f ?

Оптимальность /в смысле максимизации капитала видна из того, что:

since (7= (П HPr)

[1.14]

(ПНРК,)"= ехр (,b(HPR.)j[1.15]

Отсюда, согласно закону больших чисел в слабой форме или Центральной предельной теоремы теории вероятностей применительно к сумме независимых переменных (т. е. к числителю правой части выражения [1.15]), если максимизировать среднее геометрическое по всем периодам владения на достаточно большой выборке данных, то почти наверняка получим больший конечный капитал, чем с помощью любого другого решающего правила.

Кроме того, для доказательства оптимальности /мы можем также воспользоваться теоремой Ролля. Вспомните, что под оптимальностью мы понимаем то, что дает наибольший геометрический рост с увеличением количества испытаний. Поскольку показателем среднего геометрического роста является TWR, нам нужно доказать, что существует такое значение f, при котором достигается максимум TWR.

Теорема Ролля утверждает, что если некая функция пересекает линию, параллельную оси х в двух точках а и Ь, и функция непрерывна на интервале [а, Ь], то на этом интервале существует по крайней мере одна точка, в которой первая производная этой функции обращается в нуль (т. е. имеется по крайней мере один относительный экстремум).

Поскольку все функции с положительным арифметическим математическим ожиданием пересекают ось х дважды* (в качестве оси X выступает ось j), при / = О и в той точке справа, где / дает такие расчетные HPR, что их дисперсия превосходит среднее арифметическое HPR минус один. Эти две точки будут определять наш интервал [а, Ь] на оси х. Далее, первая производная фундаментального уравнения торговли (т. е. оценочного TWR) будет непрерывна при всех / внутри данного интервала, поскольку /дает такие значения AHPR и дисперсии HPR внутри интервала, которые дифференцируемы на нем. Следовательно, оценочное TWR как функция от /непрерывна внутри интервала. Значит, согласно теореме Ролля, на этом интервале должен быть по

* В действительности при /=0 и TWR = 0. Поэтому мы не можем сказать, что TWR пересекает О снизу вверх. Вместо этого мы можем утверждать, что при значении /, которое бесконечно близко к нулю, TWR пересекает линию, расположенную над осью х и бесконечно близкую к ней. Аналогичным образом характеризуется и правая точка пересечения.