назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]


6

геометрической сделки - в оценке того, сколько мы зарабатываем на контракт по сделке, что всегда меньше, чем в средней сделке.

В стремлении к знанию часто приходится как-то иначе, по-новому, посмотреть на известные вещи, научиться воспринимать их по-детски непосредственно, безо всяких предубеждений.

Как только торговое сообщество воспримет эти новые идеи, как только его члены выйдут за рамки своего плоскостного восприятия мира, с техническим анализом случится то же самое, что сейчас происходит с анализом фундаментальным. Те, кто хочет преуспеть на рынке, еще ближе подойдут к пониманию того, что действительно влияет на их эффективность, то есть они достигнут той же цели, которую преследовали ранее, переориентировавшись с фундаментального анализа на технический.

Когда методологией овладеют инвесторы, они поймут, что построение портфеля - это не поиск компромисса между риском и прибылью и что оптимальный портфель - это не точка двумерного Е-V-пространства. Напротив, они увидят его как карту полиморфной* поверхности в пространстве рычагов, где дисперсия дохода (риск) интересна лишь постольку, поскольку она снижает среднегеометрический доход и влияет на оптимальное использование рычага**. То есть дисперсия дохода лишь снижает относительные высоты этого изображения***. Хитрость состоит в том, чтобы найти именно вершину изображения, а не какой-то удовлетворительный компромисс между доходом и его дисперсией, как это обычно делается при инвестировании.

* Допускающего возможность реконфигурации. - Прим. пер.

** Далее в этой главе будет показано, что среднегеометрическое доходов за период владения активом может быть достаточно точно аппроксимировано с помощью теоремы Пифагора для среднеарифметического и стандартного отклонения доходов за период владения. То есть среднеарифметическое и стандартное отклонение (дисперсия) доходов за период владения позволяют оценить среднегеометрическое доходов за период владения, или высоту в (п + 1)-мерном пространстве.

*** Из всего этого не следует, что риск и доход не связаны между собой сложным образом - наоборот. Если вам нужен высокий доход, то следует мириться с высоким риском. Говорю это, поскольку из-за незнания топографии (п + 1)-мерной поверхности своего местопребывания кто-то, вероятно, окажется не на вершине и, следовательно, будет получать совсем не такой доход, как следовало бы, учитывая тот уровень риска, которому он себя реально подвергает.

Статистическая независимость

На протяжении всей книги мы будем считать, что для фиксированного метода торговли последовательность доходов за периоды владения (holding period returns - HPR) на одном участке временной оси независима от HPR в любое другое время и что все они независимо распределены по одному и тому же закону распределения.

Существует множество способов проверки статистической независимости и принадлежности двух случайных величин к одному и тому же распределению. Мы не будем здесь их приводить. Читателей, которые заинтересованы в более подробном рассмотрении этого вопроса, отсылаем к двум предьщущим книгам Portfolio Management Formulas и The Mathematics of Money Management.

Если, однако, какая-то статистическая завсимость все же имеется, то поначалу наш метод торговли будет субоптимальным (т. е. не оптимальным) Позже трейдер сможет встроить в него данные о зависимости и таким образом повысить его эффективность. Только при статистической независимости трейдер, возможно, будет вправе утверждать, что улучшить свой метод торговли он уже не сможет.

История параметра f

Где-то в конце Второй мировой войны немецко-американский математик венгерского происхождения Джон фон Нейман и экономист Оскар Моргенстерн явили миру концепцию теории игр, которую они подробно изложили в своем классическом трактате «Теория Игр и Экономического поведения». Эта теория, изначально разработанная для решения экономических задач, положила начало новой прикладной дисциплине, называемой



исследованием операций, и впоследствии, благодаря своим приложениям к военной стратегии, социологии и политике, стала одной из великих «золотых жил» двадцатого столетия. Возможности, которые дает нам эта теория, столь же неисчерпаемы, сколь и мало исследованы.

Во время Второй мировой войны серьезные трудности возникали при обеспечении связи на дальние расстояния. Теория передачи данных на ранних этапах своего развития изобиловала проблемами, не последней из которых были ложные сигналы, порождаемые, казалось бы, неустранимым электронным шумом, накладывавшимся на сообщения.

В 1948 г. Клод Шеннон опубликовал в «Bell System Tehnical Joumal» статью «Математическая теория информации», которая положила начало тому, что сейчас называется теорией информации. По сути, Шеннон утверждал, что при надлежащем кодировании двоичные символы могут передаваться по зашумленному каналу с произвольно малой вероятностью ошибки.

К 1956 г. Дж. Л. Келли Мл. объединил некоторые идеи теории игр и теории информации в ставшей теперь знаменитой статье «Новая интерпретация скорости передачи информации»*. Хотя в статье речь шла о теории информации, из нее вытекало, что игроку следует стремиться максимизировать ожидаемую величину логарифма своего капитала**. Это было прямой противоположностью методологии, принятой еще во времена Паскаля, утверждавшей, что игрок должен максимизировать ожидаемую величину самого капитала.

Начиная с 1962 г., когда вышла классическая книга Эдварда О. Торпа «Как победить дилера», критерий Келли начал приобретать известность среди технических аналитиков, главным образом, благодаря усилиям Эдварда О. Торпа***. Он показал порядок применения данного критерия на практике и предложил такие рабочие формулы, которые были приняты на вооружение сооб-

* J. L. Kelly, Jr., А New Interpretation of Information Rafe,«Bell System Technical Journal», July 1956, pp. 917-926.

** Впоследствии это положение стало известно как критерий Келли.

*** Edward О. Thorp, Beat the Dealer, New York: Vintage Boob, Random House, Inc., 1966.

ществом так называемых профессиональных игроков. Биржевое сообщество в целом, однако, отнюдь не торопилось принять критерий, несмотря на то, что в его полезности Торпу удалось убедить профессиональных игроков. Оно, следовавшее за корифеями управления риском из бизнесс-школ, осталось, в основном, равнодушным к этому.

В 1980 г. Тори опубликовал в «Gambling Times» статью, посвященную формулам Келли*.

Позже эти формулы были вновь рассмотрены в ныне знаменитой книге Фреда Тема «Управление капиталом на товарных рынках», благодаря которой критерий Келли стал понемногу восприниматься всем торговым сообществом, включая трейдеров-спекулянтов и трейдеров товарных рынков, а не только горсткой математически подготовленных трейдеров, которые приняли его еще раньше.

Так продолжалось до 1986 г., когда достоинства формул Келли начал пропагандировать видный трейдер Ларри Вильяме. Вскоре после этого стало уже трудно найти опытного спекулятивного трейдера, который бы не знал о формулах Келли.

Формулы Келли, говоря кратко, удовлетворяют критерию Келли, то есть они дают ответ на вопрос, какую долю средств следует инвестировать в каждую игру, чтобы максимизировать ожидаемую величину логарифма капитала. Эту долю мы, вслед за Торном, обозначаем буквой /

Первая из этих формул такова:

f=2*p-\

[1.03а]

f=p-q

[1.03b],

где:

р - вероятность выигрыша в игре;

q - вероятность проигрыша в игре (поскольку она дополняет р, она равна 1 -р).

* Е. О. Thorp, The Kelly Money Management System, «Gambling Times», Dec. 1980, pp. 91-92.



Эту формулу можно применять, однако, только когда возможный выигрыш равен проигрышу. Например, если с вероятностью 60% вы выигрываете один доллар и проигрываете один доллар с вероятностью 40%, получаем:

/=0,6-0,4 = 0,2.

То есть для того, чтобы удовлетворить критерий Келли, нужно было бы на каждую игру ставить по 0,2, или 20%, нашего капитала.

Когда выигрываемые и проигрываемые величины не одинаковы (и даже если равны), можно использовать следующую формулу:

[1.04а],

где:

р - вероятность выигрыша в игре;

b - отношение величины выигрыша по выигрышной сделке к величине проигрыша по проигрышной сделке.

Так, для игры вроде нашей орлянки «два-к-одному», упоминавшейся ранее, получаем:

((2 + 1) * 0,5 - 1)

(3 * 0,5 - 1) 2

[1.04а]

= 0,25.

То есть оптимальная ставка на каждый кон игры составляла бы 25% от величины счета.

Обратите внимание, что числитель в формуле [1.04а] равен (арифметическому) математическому ожиданию [1.01а]. Поэтому можно сказать, что:

the edge

[1.04b]

Исходя из этого, формулу Келли также часто представляют в виде:

[1.04с]

Любая из формул [1.04] будет удовлетворять критерию Келли, или, как я говорю, рассчитывают оптимальное /, независимо от того, равны или нет величины выигрыша и проигрыша. В формуле [1.03] величины выигрыша и проигрыша должны быть равны.

Однако я считаю, что все эти формулы применимы только к распределению Бернулли, имеющему лишь два различных исхода. Поскольку многие азартные игры имеют только два различных исхода (выигрышный исход и проигрышный исход), проблемы не возникает. В торговле же сделка может иметь много исходов. Поэтому я вывел формулу, дающую оптимальную долю при наличии более двух возможных исходов.

Для начала мы должны усвоить понятие дохода за период владения (HPR). Оно обозначает просто процент чистого дохода от данной сделки плюс единица. Следовательно, чистый доход в 10% эквивалентен HPR, равному 1,10, а убыток в 25% - HPR в 0,75.

Но процент дохода, который мы используем, является функцией величины, которая используется в формуле для / То есть мы можем утверждать, что математически HPR представляет собой:

HPR = 1 +/* (

- trade biggest loss

[1.05]

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]