/бесконечно мало, к оптимальному/(см. рис. 5.7). При бесконечном Т GRR равно оптимальному/ Это очень похоже на работу с EAGG: вы можете торговать на / максимизируя GRR, если априори знаете, на каком значении Т вы хотите получить максимум.

Изменение от бесконечно малого значения / при Т=1 до оптимального/при Т= 8 происходит по всем осям, но на рис. 5.6 и 5.7 это демонстрируется на примере торговли с одним сценарным спектром. Если бы вы торговали одновременно с двумя спектрами, то при увеличении Т пик GRR переместился бы по трехмерной плоскости почти от 0,0 по обоим значениям / до оптимальных значений / (при 0,23 и 0,23 для игры монетку «два-к-одному»).

Определить GRR для случая одновременной торговли с большим количеством сценарных спектров нетрудно с помощью формулы [5.22] безотносительно к тому, сколько многокомпонентных сценарных спектров одновременно отслеживается.

Следующей и последней точкой слева от пика, подлежащей рассмотрению, которая может быть весьма благоприятной для многих управляющих капиталом, является точка перегиба функции TWR от /

Вновь обратимся к рис. 1.2. Обратите внимание, что, когда мы приближаемся к пику при оптимальном / слева, начиная от

.10 .20 .30 .40 .50 .60 .70 .80

Рис. 5.6. Игра в монетку «два-к-одному», GRR при Т=1.

О, происходит все ускоряющийся по вертикали рост TWR. То есть так мы достигаем все большей и большей выгоды при линейном росте риска. Но рост кривой TWR продолжается только до определенной точки, все в более медленном темпе для каждого увеличения / Эта точка перелома, называемая точкой перегиба, ибо она представляет то место, где функция переходит от выгнутости к вогнутости, является еще одной точкой слева, которая представляет интерес для управляющего капиталом. Точка перегиба представляет собой ту точку, в которой малейший рост прибылей фактически прекращается и начинает уменьшаться при всяком малейшем увеличении риска. Таким образом, эта точка может оказаться исключительно важной для управляющего капиталом и может даже оказаться в некоторых случаях оптимальной с точки зрения управляющего капиталом как точка, где достигается действительный максимум.

Напомню, однако, что рис. 1.2 представляет TWR после сорока конов игры. Давайте рассмотрим TWR после одного кона игры в монетку «два-к-одному» (см. рис. 5.8), который также называется попросту средним геометрическим HPR.

Рис, 5.7. Игра в монетку «два-к-одному», GRR при Т - 30.

Рис. 5.8, Среднее геометрическое HPR при игре в монетку «два-к-одному» (=TWR при Т= 1).

Интересно, что в данном случае нет ни одной точки, в которой эта функция менялась с выгнутой на вогнутую или наоборот. Здесь нет ни одной точки перегиба. Вся картинка выгнута вниз.

При положительном математическом ожидании у среднего геометрического нет ни одной точки перегиба. Но при Т > 1 TWR имеет две точки перегиба - одну слева от пика и другую справа от него. Та, что интересует нас, расположена, естественно, слева от пика.

Левой точки перегиба не существует при Т = 1, и с увеличением Т она приближается к оптимальному/слева (рис. 5.9 и 5.10). При бесконечном Т точка перегиба сходится к оптимальному /

К сожалению, левая точка перегиба перемещается по направлению к оптимальному/точно так же, как и GRR, и точно так же, как для EACG, если бы вы знали до начала игры, какое количество конов вы сыграете, то смогли бы максимизировать левую точку перегиба*.

* Интересно, однако, что если бы вы попытались максимизировать E1ACG для данного Т, то стали бы искать точку справа от пика ее кривой, так как величина /, максимизирующая EACG, приближается к оптимальному / справа при стремлении Т к бесконечности.

.20 .30 .40

50 .60 .70 .80 .90 1.0

Рис. 5.9. dTWR/d/для 40 конов (Т = 40) игры в монетку «два-к-одному». Пик слева и впадина справа являются точками перегиба.

800000

-700000

-600000

-500000

-400000

-300000

-200000

-100000

--100000

--200000

--300000

--400000

--500000 -600000

Рис, 5,10, dTWR/d/для 800 конов (Т = 800) игры в монетку «два-к-одному». Пик слева и впадина справа являются точками пергиба. Левый пик достигается на 0,23.

Резюмируя, покажем, как происходит перемещение точки перегиба к оптимальному /, с помощью таблицы по количеству сыгранных конов:

Игра в монетку «два-к-одному»

К-во конов игры Лев. точка перегиба

30 40 80 800

0,12 0,13 0,17 0,23

То есть мы вновь видим, что с течением времени, или с увеличением Т, отступление от оптимального /влечет за собой серьезное наказание. Асимптотически почти все максимизировано, будь то EACG, GRR или левая точка перегиба. С увеличением Т все они сходятся к оптимальному / Поэтому с увеличением Т расстояние между этими благоприятными точками и оптимальным /сокращается.

Предположим, что управляющий капиталом использует дневные HPR и намерен действовать оптимальным образом (в смысле точки перегиба GRR) в течение текущего квартала (63 дня). Тогда он использовал бы величину 63 для Т и позиционировался бы в тех координатах, которые оптимальны для каждого квартала.

Когда мы начинаем работать больще чем с двумя измерениями, то есть когда у нас имеется более одного сценарного спектра, мы одновременно сталкиваемся с более сложной задачей.

Ее рещение может быть выражено математически, как та точка слева от пика (по всем осям), в которой вторые частные производные TWR (формула [4.04], при Т - количество периодов владения, для которого отыскивается точка перегиба) по каждому/в отдельности равны нулю. Это усложняется еще и тем, что такая точка, в которой вторые частные производные по всем /равны нулю, зависит от параметров самих сценарных спектров и величины Т и может не существовать вовсе. Если Т= 1, то TWR равна среднему геометрическому HPR, кривая которого является перевернутой параболой и не имеет ни одной точки перегиба! Но когда Т стремится к бесконечности, точка (точки)

перегиба приближаются к оптимальному (оптимальным) /! В отсутствие бесконечного Т в больщинстве случаев такой удобной общей для всех осей точки пергиба может не быть*.

Все сказанное возвращает нас к началу данной книги. Суть понятия (л + 1)-мерного изображения в пространстве рьиагов, или, если угодно, осей, соответствующих значениям /различных сценарных наборов, состоит в том, чтобы служить методологией анализа состава портфеля и определения его объема с течением времени. Для выработки этой новой методологии нужно еще очень многое сделать. Эта книга далеко не исчерпывает данного предмета. Скорее, она является введением в новый и одновременно, как я полагаю, лучший способ решения проблемы распределения инвестиций. Она почти наверняка дает портфельным стратегам, прикладным математикам, практикам в области распределения инвестиций и программистам много новой плодородной почвы для работы. Честно говоря, нужно еще очень много сделать в области анализа, практического использования и развития этой новой методологии, плоды чего нельзя даже и определить.

Управление текущими потерями и новая методология

Большие текущие потери происходят по трем причинам. Первая и наиболее распространенная из них - это катастрофический проигрыш на одной сделке. Я пришел в этот бизнес

* Вспомните, что единственное, что достигается с помощью диверсификации, т. е. при использовании в торговле более одного сценарного спектра, или при работе с более чем с двумя измерениями, - это увеличение Т, или количества периодов владения за данный период времени. Вы не сокращаете риск. В свете этого всякий, кто стремится максимизировать минимальный доход при минимальном риске, вполне может предпочесть торговать только с одним сценарным спектром.