циклически прошел все свои значения, третий переходит к своему следующему сценарию. Данный процесс абсолютно аналогичен тому, как работает одометр в автомобиле, откуда и взялось название одометрический.

Таким образом, если бы к было больше 3 (т. е. к = 3), i равно 1, а j равно 3, то величина PCilJ) обозначала бы совместную вероятность выпадения монеты 1 решкой и выпадения монеты 3 решкой. Наконец, подставив выражения [4.02] и [4.03] в [4.01], мы можем создать одну полную целевую функцию. То есть мы сможем максимизировать G в виде:

с(/;.../„) = (П((1 + (1

к=71=1

-1 п

Данная целевая функция, которую нам нужно максимизировать, выражает суть нашей новой методологии инвестирования капитала. Она дает нам высоту, среднее геометрическое HPR, в (и + 1)-мерном пространстве используемых значений / Это точное значение, безотносительно к тому, как много сценарных спектров используется в качестве аргументов. Это - целевая функция модели в пространстве рычагов.

Хотя выражение [4.04] может показаться несколько устрашающим, нет никаких причин пугаться его. Как можно заметить, это выражение представляет собой компактную форму выражения [4.01], с которой работать много удобнее.

Возвращаясь к нашему примеру с тремя монетами, предположим, что мы выигрываем два доллара на выпадении орла и проигрываем один доллар на выпадении решки. У нас имеется три сценарных спектра, три рыночных системы, называемые Монета 1, Монета 2 и Монета 3. Два сценария, орел и решка, представляют каждую монету, каждый сценарный спектр. Для простоты будем предполагать, что взаимные коэффициенты корреляции всех трех сценарных спектров (монет) равны 0.

Следовательно, мы должны найти три различных значения / Мы отыскиваем оптимальное значение /для Монеты 1, Монеты 2 и Монеты 3, обозначаемые через /, и соответственно, которые дают наибольший рост, то есть комбинацию трех значений / которые приводят к наибольшему среднему геометрическому HPR (выражение [4.01] или [4.04]).

В данный момент мы не обращаем никакого внимания на избранный метод оптимизации. Сейчас наша цель заключается в том, чтобы показать, как вычисляется целевая функция. Поскольку методы оптимизации обычно назначают переменным некоторые начальные значения, мы произвольно выбираем 0,1 в качестве начального значения для всех трех величин /

Для простоты вместо формулы [4.04] мы будем использовать выражение [4.01]. Исходя из него, мы начнем перебирать все комбинации сценарных наборов по возрастанию индекса к от 1 до т, вычисляя HPR комбинаций сценарных наборов по формуле [4.02] и перемножая все эти HPR вместе. Каждый раз, вычисляя выражение [4.02], нужно отслеживать показатели степени в фигурных скобках, ибо далее нам понадобится их сумма.

Итак, мы начинаем с к = 1, где сценарный спектр 1 (Монета 1) поворачивается решкой, как и два других сценарных спектра (монеты).

Формулу [4.02] можно переписать в виде:

HPR,= (1 + Cf

с = (/;*(-рц,/вь,))

[4.05]

=(П(П

Заметьте, что помещенный в скобки показатель степени в формуле [4.02], который мы должны отслеживать, в формуле [4.05] обозначен переменной х. Его же представляет и [4.03].

Таким образом, для получения С мы действуем следующим образом. Проходя через каждый сценарный спектр, берем исход

текущего сценария согласно значению индекса к и делим его отрицательное значение на величину наихудщего исхода в данном спектре. Полученное частное умножаем на значение /, которое используется с данным сценарным спектром. По мере продвижения от одного сценарного спектра к другому эти величины суммируются.

Индекс / обозначает тот сценарный спектр, который мы рассматриваем в текущий момент. Наибольшая потеря в сценарном спектре 1, происходящая при выпадении рещки, составляет один доллар (т.е. -1). Следовательно, BL, равен -1 (каковыми будут и ВЦ, и BLj, поскольку наибольшая потеря в каждом из двух других сценарных спектров, или на двух других монетах, равна -1). Ассоциированная величина PL, то есть исход того сценария в i-ом спектре, который соответствует тому сценарию этого спектра, на который указывает к, равна -1 в сценарном спектре 1 (так же, как и в двух других спектрах). В данный момент значение / равно 0,1 (как это сейчас и в двух других спектрах). Итак:

с=Е (/;*(-рц,/вь.))

С = (0,1 * (-1/-1)) + (0,1 * (-1/-1)) + (0,1 * (-1/-1)) С = (0,1 * -1) + (0,1 * -1) + (0,1 * -1) С = -0,1+ -0,1+ -0,1 = -0,3

Обратите внимание, что значения PL отрицательны, поэтому выражения во внутренних скобках положительны.

Теперь берем значение для С из формулы [4.05], прибавляем к нему 1 и получаем 0,7 (так как 1 + (-0,3) = 0,7). Теперь мы должны определить показатель степени, или переменную х из формулы [4.05].

Величина P(ij) обозначает просто совместную вероятность к-го сценария из i-ro спектра и к-го сценария из j-ro спектра. Поскольку индекс к в данный момент равен 1, то он указывает на выпадение решки во всех трех сценарных спектрах. Значение х находим следующим образом. Берем произведение

совместных вероятностей сценариев из спектров 1 и 2, умножаем его на совместную вероятность сценариев из спектров 1 и 3 и на совместную вероятность сценариев 2 и 3. Иначе это можно выразить так:

2 3 3

Если бы имелось четыре спектра, то мы бы взяли произведение всех совместных вероятностей согласно схеме:

1 1 1 2 2 3

2 3 4 3 4 4

Поскольку все наши совместные вероятности равны 0,25, для X получаем:

=(П(П рш))

(1/(1-1))

х = (0,25 * 0,25)

х= (0,015625)

(1/(3-1))

х = (0,015625) х = 0,125

Таким образом, х, равное 0,125, составляет совместную вероятность к-й комбинации сценариев. (Отметьте, что мы собираемся определить совместную вероятность трех случайных переменных с использованием совместных вероятностей двух случайных переменных!)

Отсюда HPR,= 0,7°"= 0,9563949076, когда к= 1. С помощью формул [4.02] или [4.05] мы должны вычислить эту величину для всех значений к от 1 до m (в данном случае m равно 8). Проделав это, получим:

Суммирование по формуле [4.04] всех Prob, получаемых из [4.03], дает 1. Далее, перемножив все HPR, согласно [4.01] или [4.04], получим 1,119131. Откуда следует, что величина G из [4.01], равная 1,119131, отвечает значениям 0,1, 0,1, 0,1 величин /р / и / соответственно.

G(o,i, 0,1, 0,1) = (П hprJ i

(1ДРгоЬ,)

G(0,1, 0,1, 0,1) = (0,956395 * 1 * 0,1 * 1,033339 * 1 * 1,033339 *

* 1,033339 * 1,0605011)"/*°* 0,125+ 0,125+ 0,125+ 0,125 + 0,125 + 0,125+ 0,125))

G(0,1, 0,1, 0,1) = (1,119131)(/"

Далее, руководствуясь используемым методом математической оптимизации, мы стали бы изменять нащи значения/ В итоге мы нашли бы оптимальные значения 0,21, 0,21, 0,21 для /, / и /, соответственно. Это дало бы нам:

2 3 4 5 6 7

Эти данные получаются по формуле [4.01] следующим образом:

/гг\(1ДРгоЬ,)

(?(0,21, 0,21, 0,21) = (П HPRj w *

G(0,21, 0,21, 0,21) = (0,883131 * 1 * 0,1 * 1,062976 * 1 * 1,062976 * * 1 062976 * 1 10729б)*/*- 0,125+ 0,125+ 0,125+ 0,125+ 0,125+ 0,125+ 0,125))

G(0,21, 0,21, 0,21) = (1,174516)(/> G(0,21, 0,21, 0,21) = 1,174516

Данная комбинация значений / дает наибольшее G для заданных сценарных спектров. Поскольку это очень упрошен-

G(0,1, 0,1, 0,1) = 1,119131